S´eries enti`eres avec coupure p.s.
Gregory Boil Tristan Haugomat Ann´ ee 2013-2014
Ce d´eveloppement ce trouve dans [QZ13] dans le chapitreTh´eor`emes limites en Probabilit´e. Applications
`
a l’Analyse, sectionApplication des Probabilit´es `a l’Analyse, sous sectionS´eries enti`eres avec coupure.
On appelleU(U) la loi uniforme sur U= {z∈C| |z|= 1}, c’est par exemple la loi de eiΘ avec Θ ∼ U([0,2π]). On ce propose de d´emontrer le th´eor`eme
Th´eor`eme (S´eries enti`eres avec coupure p.s.). SoitP
n≥0anzn une s´erie de rayon de convergence1.
Soient (Zn)n≥0 une suite de variables al´eatoires i.i.d. de loi U(U), d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,F,P). Alors
p.s., ∀a∈U, a est un point singulier def(z) :=X
n≥0
Znanzn.
R´ esultats requis
On va avoir besoin des r´esultats suivants
Th´eor`eme 1(Loi du 0-1 de Kolmogorov). Soit(An)n une suite de tribus mutuellement ind´ependante, alors tout ´el´ement le la tribu asymptotiqueA∞:=T
n≥0
W
k≥nAk est de probabilit´e0 ou1.
Lemme 2([QZ13] chapitre III section IV). Toute s´erie enti`ere de rayon de convergence fini admet un point singulier.
Lemme 3 ([QZ13] chapitre III section IV). Soit f une s´erie enti`ere en0 de rayon de convergence 1 et soitu∈U. Alors uest r´egulier si et seulement si la s´erie enti`ere induit parf et de centre u2 a un rayon de convergence strictement plus grand que 12, i.e.
lim sup
n→∞
f(n) u2 n!
1 n
<2.
Etude de ´ A
u:= {ω ∈ Ω | u est un point r´ egulier de f
ω} pour u ∈ U
On va utiliser la caract´erisation de la r´egularit´e de u donn´e par le Lemme 3. Soit Fn := σ(Zn) et F∞:=T
n≥0
W
k≥nFk. On a que
f(k)u 2
=X
i≥k
Ziai
i!
(i−k)!
u 2
i−k
est W
i≥kFk-mesurable. Ainsi supk≥n
f(k)(u2)
k!
1 k
est W
k≥nFk-mesurable et lim supn→∞
f(n)(u2)
n!
1 n
est F∞-mesurable. Ainsi
Au∈ F∞⊂ F
et par la loi du 0-1 (Th´eor`eme 1)P(Au)∈ {0,1}. Enfin,uest un point r´egulier de P
n≥0Znanzn si et seulement si 1 est un point r´egulier deP
n≥0(unZn)anznor (Zn)n≥0et (unZn)n≥0on la mˆeme loi, donc P(Au) =P(A1).
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