2 Th´eor`emes fondamentaux 2.1 Th´eor`eme de convergence monotone

2 Th´ eor` emes fondamentaux

2.1 Th´ eor` eme de convergence monotone

Th´eor`eme 2.1 (Beppo-Levi). Soit fn : X → R une suite de fonctions int´e- grables telles que

fn(x)≤fn+1(x)pour toutx∈X,

�

X

fndµ≤C pour toutn≥1, o`uC est une constante. On pose

f(x) = lim

n→∞fn(x). (2.1)

Alorsf est int´egrable et

�

X

f dµ= lim

n→∞

�

X

fndµ. (2.2)

D´emonstration. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer quefn ≥0. Soit N >0, An,N ={x∈X:fn(x)≥N}, AN =

�∞ n=1

An,N.

Il est clair quef(x) =∞si est seulement six∈ ∩^NAN. On a C≥

�

X

fndµ≥

�

X

fnIAn,Ndµ≥N

�

X

IAn,Ndµ=N µ(An,N), d’o`u on voit que

µ(AN) = lim

n→∞µ(An,N)≤ C N. Il s’ensuit que µ�

∩^NAN�

= 0, donc{f =∞} est un ensemble de mesure z´ero.

On fixe maintenant c ∈]0,1[ et on note En = {x ∈ X : fn(x) ≥ cf(x)}. AlorsEn⊂En+1 pour toutn≥1 etµ�

X\ ∪ⁿEn�

= 0. On a C≥

�

X

fndµ≥

�

X

fnIEndµ≥c

�

X

f IEndµ.

Lemme 2.2. Soitf ≥0une fonction int´egrable et{En} une suite d’ensembles mesurables telle que

En⊂En+1, µ�

X\ ∪ⁿEn�

= 0,

�

X

f IEndµ≤C. (2.3) Alorsf est int´egrable et

�

X

f dµ= lim

n→∞

�

X

f IEndµ. (2.4)

Le lemme 2.2 implique que

nlim→∞

�

X

fndµ≥c

�

x

f dµ pour toutc∈]0,1[.

Cette in´egalit´e entraˆıne la relation (2.2).

D´emonstration du lemme. Montrons d’abord que f est int´egrable. Supposons qu’il existe une fonction ´etag´eeg=�

kckIΓk ≤f telle que�

Xgdµ > C. Alors

�

X

gIEndµ=�

k

ckµ(Γk∩En)→�

k

ckµ(Γk) =

�

X

gdµ > C, d’o`u on conclut que

�

X

f IEndµ≥

�

X

gIEndµ > C pourn�1.

Nous avons montr´e que�

Xf dµ≤C. Un argument similaire permet d’´etablir la relation (2.4).

Exemple 2.3.SoitX = [0,1] muni de la mesure de Lebesgue,fn(x) = min{x⁻¹, n}, fn(0) = 0. Alors

fn(x)→ 1 x,

�

X

fndλ→+∞ quandn→ ∞.

2.2 Th´ eor` eme de convergence domin´ ee

Th´eor`eme 2.4 (Lebesgue). Soit {fn} une suite de fonction mesurables telle que

n→∞lim fn(x) =f(x), |fn(x)| ≤g(x) pour toutx∈X, o`ug est une fonction int´egrable. Alors f est int´egrable et

nlim→∞

�

X

fndµ=

�

X

f dµ.

D´emonstration. Soit gn(x) = inf{fk(x), k ≥ n}. Alors gn ≤ gn+1, gn ≤ fn, gn→f. En utilisant le th´eor`eme de convergence monotone, on obtient

�

X

f dµ= lim

n→∞

�

X

gndµ≤lim inf

n→∞

�

X

fndµ. (2.5)

D’autre part, soit hn(x) = inf{−fk(x), k ≥n}. Alors hn ≤hn+1, hn ≤ −fn, hn→ −f. D’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone,

�

X

(−f)dµ= lim

n→∞

�

X

hndµ≤lim inf

n→∞

�

(−fn)dµ, d’o`u on conclut que �

X

f dµ≥lim sup

n→∞

�

X

fndµ. (2.6)

Les in´egalit´es (2.5), (2.6) impliquent le r´esultat cherch´e.

2.3 Lemme de Fatou

Th´eor`eme 2.5. Soitfn≥0une suite. Alors

�

X

�lim inf

n→∞ fn

�dµ≤lim inf

n→∞

�

X

fndµ. (2.7)

D´emonstration. On peut supposer que le membre de droite dans (2.7) est fini.

Soitgn = infk≥nfk. Alorsgn≤gn+1,gn≤fn,

n→∞lim gn= lim inf

n→∞ fn, lim

n→∞

�

X

gndµ≤lim inf

n→∞

�

X

fndµ.

D’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, on a

�

X

�lim

n→∞gn

�dµ=

�

X

�lim inf

n→∞ fn

�dµ= lim

n→∞

�

X

gndµ≤lim inf

n→∞

�

X

fndµ.

Exemple 2.6. Soit X = [0,∞[, fn(x) = ne^−nx. Alors lim infnfn(x) = 0 pour x >0, �

X

fndλ=

� ∞ 0

ne^−nxdx= 1 pour toutn≥1.

Donc, l’in´egalit´e dans (2.7) peut ˆetre stricte.

2.4 G´ en´ eralisations

Soitµ une mesure sur (X,B^X). Un ensembleN ⊂X est dit n´egligeable si N ∈ B^X et µ(N) = 0. Soit (P) une propri´et´e qui d´epend des points de X. On dit que (P) a lieu presque partout s’il existe un ensemble n´egligeableN tel que (P) est vraie en tout point de X \N. Etant donn´e un ensemble E ∈ B, on dit que (P) a lieu presque partout dansE s’il existe un ensemble n´egligeable N ⊂X tel que (P) est vraie en tout point deE\N.

Exemple 2.7. 1) Deux fonctions mesurables ´egales presque partout.

2) Une suite de fonctions mesurables qui converge presque partout.

Les th´eor`emes de convergence monotone et de convergence domin´ee restent vrais dans le cas o`u la suite converge presque partout. Ce fait est une cons´equence du lemme suivant.

Lemme 2.8. Soientf, gdeux fonctions mesurables ´egales presque partout. Dans ce cas, sif est int´egrable, alorsg l’est aussi, et on a

�

X

f dµ=

�

X

gdµ.

Signalons aussi que la th´eorie construite ci-dessus reste vraie dans le cas de fonctions `a valeurs complexes.

2.5 Fonctions d´ efinies par des int´ egrales

SoitX = [a, b], µune mesure sur (X,B^X) et Λ⊂R (ou Λ⊂C) un ouvert.

On consid`ere une fonction f :X×Λ→Rtelle quef(·, λ) soit int´egrable pour tout λ∈Λ. Posons

F(λ) =

�

X

f(x, λ)dµ.

Les deux r´esultats suivants donnent des conditions suffisantes pour que F soit continue ou d´erivable. Leur d´emonstration est bas´ee sur le th´eor`eme de conver- gence domin´ee.

Th´eor`eme 2.9. Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites.

(a) Pour presque tout x∈X, la fonctionλ�→f(x, λ)est continue surΛ.

(b) Pour tout compact K⊂Λ, il existe une fonction int´egrable gK(x)telle que

|f(x, λ)| ≤gK(x) pour λ∈K et presque toutx∈X.

AlorsF est continue sur Λ.

Th´eor`eme 2.10. Supposons queΛ⊂Ret les conditions suivantes sont satis- faites.

(a) Pour presque tout x∈X, la fonctionλ�→f(x, λ)est d´erivable surΛ.

(b) Pour tout compact K⊂Λ, il existe une fonction int´egrable gK(x)telle que, pour toutx∈X pour lequelf(x, λ)est d´erivable et pour toutλ∈K,

��

�f(x, λ)

∂λ

��

�≤gK(x).

AlorsF est d´erivable sur Λ, et sa d´eriv´ee est donn´ee par F^�(λ) =

�

X

∂f(x, λ)

∂λ dµ. (2.8)

D´emonstration du th´eor`eme 2.9. Soit{λn} ⊂Λ une suite que converge versλ.

On veux montrer queF(λn)→F(λ).

On posegn(x) =f(x, λn) etg(x) =f(x, λ). Alors

gn→g, |gn(x)| ≤gK(x) presque partout, o`uK={λn, λ}. D’apr`es le th´eor`eme sur la convergence domin´ee,

F(λn) =

�

X

gndµ→

�

X

gdµ=F(λ).

D´emonstration du th´eor`eme 2.10. Pourν >0, on pose g(ν) =F(λ+ν)−F(λ)

ν =

�

X

f(x, λ+ν)−f(x, λ)

ν dµ.

Il suffit de montrer queg(νn) converge vers le membre de droite dans (2.8) pour toute suite{νn} convergeant vers z´ero.

SoitBδ ={ν ∈R:|ν| ≤δ}, o`u δ >0 est suffisamment petit. Alors, d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, pourν∈Bδ et presque tout x∈X, on a

��

�f(x, λ+ν)−f(x, λ) ν

��

�≤gK(x),

o`uK=λ+Bδ. En utilisant le th´eor`eme de Lebesgue sur la convergence domin´ee, on conclut que{g(νn)}converge vers le membre de droite de la relation (2.8).

Exemple 2.11. 1)Fonction Gamma. Soit Γ(λ) =

� ∞ 0

e^−xx^λ−1dx, λ∈C, Reλ >0.

On posef(x, λ) =e^−xx^λ−1. Alorsf est continue,

|f(x, λ)| ≤e^−xx^Reλ−1≤e^−xx^σ−1=:gσ(x), x >0, Reλ≥σ.

Pour tout σ > 0, la fonction gσ est int´egrable, donc le th´eor`eme 2.9 implique que Γ(λ) est continue pour Reλ >0. De plus,

��

�∂f(x, λ)

∂λ

��

�≤e^−x|lnx|x^Reλ−1≤e^−x|lnx|x^σ−1:= ˜gσ(x), x >0, Reλ≥σ.

Comme ˜gσ est int´egrable, on peut appliquer le th´eor`eme 2.10 et conclure que Γ est d´erivable, et son d´eriv´ee est donn´ee par

Γ^�(λ) =

� ∞ 0

e^−x(lnx)x^λ−1dx.

Le mˆeme argument montre que Γ∈C^∞et Γ^(k)(λ) =

� ∞ 0

e^−x(lnx)^kx^λ−1dx.

2) SoitF la fonction d´efinie par F(λ) =

� ∞ 0

sin(λx)

x(x²+ 1)dx, λ∈R. AlorsF est d´erivable surR,

F^�(λ) =

� ∞ 0

cos(λx) x²+ 1 dx= 1

2

� ∞ 0

e^iλx+e^−iλx x²+ 1 dx

=1 2

� ∞ 0

e^iλx

x²+ 1dx−1 2

� −∞

0

e^iλx

x²+ 1dx= 1 2

� ∞

−∞

e^iλx x²+ 1dx.

En utilisant des m´ethodes d’analyse complexe, on peut montrer que F^�(λ) =π

2e^−|λ|. De plus,F(0) = 0. Donc,

F(λ) = sgn(λ)π 2

�1−e^−|λ|� .