Th´ eor` eme 2:

Formulaires: Th´ eor` emes limites et statistiques

Proposition 1:

Soient m et σ deux r´eels. Soient n variables al´eatoires ind´ependantes X1,· · · , Xn admettant toute la mˆeme esp´erance m et la mˆeme variance σ². Xn, qui est

X₁+· · ·+X_n

n admet une variance et on a :E X_n

=m et V X_n

= σ² n .

Th´ eor` eme 2:

Loi faible des grands nombresSoientmetσdeux r´eels. Soit (X_n)n∈N^?

une suite de variables al´eatoires ind´ependantes admettant toute la mˆeme esp´erancem et la mˆeme variance σ². Pour tout r´eel ε strictement positif, on a :

n→+∞lim P

X_n−m > ε

= 0.

Th´ eor` eme 3:

Th´eor`eme central limite (Premi`ere forme)Soientmun r´eel etσun r´eel strictement positif. Soit (Xn)n∈N^? une suite de variables al´eatoires de mˆeme loi, mutuellement ind´ependante admettant une moyenne m et un ´ecart-type σ. Pour tout entier strictement positif n, on pose :M_n =

(X₁ +· · ·+X_n)

n −m

√σ n

. Pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels quea < b, on a :

n−→+∞lim (P(a 6Sn 6b)) =P (a6N 6b) avec N une variable al´eatoire suivant une loi normale centr´ee r´eduite

Th´ eor` eme 4:

Th´eor`eme central limite (Seconde forme) Mˆeme chose que la premi`ere forme mais on remplace σ par

v u u t 1 n

n

X

k=1

Xk− X₁+· · ·+X_n n

2

.

Th´ eor` eme 5:

<sup>Th´eor`</sup>eme de De Moivre-Laplace Soient p un ´el´ement de ]0,1[ et (X<sub>n</sub>)n∈N une suite de variables al´eatoires telle que, pour tout entier naturel n, X<sub>n</sub> suit une loi binomiale de param`etres n etp. Pour tout (a, b) dans (R∪ { −∞,+∞ })² tels que a < b, on a :

n−→+∞lim P a6 X_n−np pnp(1−p) 6b

!!

=P (a6N 6b)

avec N une variable al´eatoire suivant une loi normale centr´ee r´eduite

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Proposition 6:

Loi Loi approchante Condition classique

H(N, n, p) B(n, p) N >10n

B(n, p) P(np) n >30, p60,1 et np610

B(n, p) N(np, np(1−p)) n>30, np>15 et np(1−p)>5

P(λ) N(λ, λ) λ>10

D´ efinition 7:

Soient X une variable al´eatoire dont la loi d´epend d’un param`etre θ et (X₁;X₂;· · ·;X_n) un n-´echantillon de X. Soit T_n un estimateur de θ. On appelle biais de T_n la quantit´e, si elle existe, E(T_n)−θ. On appelle risque quadratique deT_n la quantit´e, si elle existe, E (Tn−θ)²

.

Proposition 8:

^{Soient X} une variable al´eatoire admettant une esp´erance m et (X₁;X₂;· · ·;X_n) un n-´echantillon de X. On note X_n la moyenne empirique de X. X_n est un estimateur sans biais de m. Si X admet une varianceσ² alors le risque quadratique de cet estima- teur vaut σ²

n .

Proposition 9:

Soient X une variable al´eatoire admettant une esp´erance m et une variance σ² et (X₁;X₂;· · ·;X_n) un n-´echantillon de X. On noteS_n² la variance empirique deX et S_n⁰² l’estimateur corrig´e de la variance X, c’est : S_n² = X₁²+· · ·+X_n²

n − X_n2

et S_n⁰² = n n−1S_n². S_n² n’est pas un estimateur sans biais de la variance de X, S_n⁰² est sans biais.

Proposition 10:

^{Soient X} une variable al´eatoire admettant une esp´erance m et une variance non nulle et (X₁;X₂;· · ·;X_n) un n-´echantillon de X.

X_n−u1−^α₂

Sn

√n, X_n+u1−^α₂

Sn

√n

est un intervalle de confiance de m avec un niveau de confiance de 1−α (On a not´e u1−^α₂ le quantile d’ordre 1−^α₂ de la loi normale centr´ee r´eduite.)

Proposition 11:

^SoientXune variable al´eatoire admettant une esp´eranceminconnue et une variance non nulle et (X₁;X₂;· · ·;X_n) un n-´echantillon de X. Soit µ un r´eel. Soit ω un r´esultat obtenu. Si Xn(ω)−µ

S_n(ω)

√n

appartient `a

−u1−^α₂, u1−^α₂

, on dit que la moyenne deX vaut bien

µet qu’ on accepte H₀. Sinon, on dit que la moyenne de X ne vaut pas, a priori,µ. On refuseH₀ et le risque de se tromper est de α.

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