Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Th´eor`emes de Fubini, calculs
1 – Petites questions
) Expliquer pourquoi il n’y a pas de faute d’orthographe dans le titre du TD.
) Soitf la fonion d´efinie sur [,]parf(x, y) = x−y
(x+y) si (x, y),(,) etf(x, y) =six=y=.
Calculer alors Z
dx Z
dyf(x, y) et Z
dy Z
dxf(x, y). Diabolique, non ?
) En consid´erant l’int´egrale Z
R
+
(+y)(+xy)dx dy, calculer Z +∞
ln(x) x−dx.
) En remarquant quex−sin(x) =R
cos(xy)dy, calculer pour toutt >l’int´egrale suivante Z +∞
x−sin(x)e−txdx.
2 – Th´eor`emes de Fubini
E
xercice 1. (Truc de ouf)Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. Montrer que pourλpresque touty∈R, λ({x∈R;f(x) =y}) =.E
xercice 2. (Quelque chose d’utile)Sur un espace mesur´eσ-fini (E,A, µ), on consid`eref : (E,A, µ)→ (R+,B(R+)) une fonion mesurable. Soitg:R+→R+une fonion croissante de classeCtelle queg() =. Montrer que Z
E
g◦f dµ= Z +∞
g0(t)µ({f ≥t})dt.
Indication :On pourra ´ecrireg(f(t)) comme une int´egrale.
. Montrer que Z
E
f dµ= Z∞
µ{f ≥t}dt.
. On suppose queµefinie et qu’il exiep≥etc >tels que pour toutt >,µ({|f|> t})≤ct−p. Montrer quef ∈Lq(E,A, µ) pour toutq∈[, p[. A-t-on forc´ementf ∈Lp(E,A, µ) ?
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
3 – Calculs
E
xercice 3.. Soit (fn)n≥une suite de fonions (E,A, µ)→(R,B(R)) int´egrables. Montrer que X
n≥
Z
E
|fn|dµ <∞=⇒X
n≥
Z
E
fndµ
!
= Z
E
X
n≥
fn
dµ.
. Calculer les int´egrales
Z
lnx
−xdx, Z∞
sin(ax) ex− dx.
E
xercice 4. Soitϕ: ([,],B([,]))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On d´efinitF:R+→R+parF(t) = Z
[,]
q
ϕ(x)+t dx.
. Montrer queFecontinue surR+et d´erivable surR∗+.
. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surϕpour queF soit d´erivable en.
3 – ` A chercher pour la prochaine fois
E
xercice 5. (D’apr`es Partiel) ´Etudier la convergence de la suiteun=R],∞[ sin(tn)
tn(+t)dt. On pr´ecisera la limite si elle exie et on juifiera soigneusement la r´eponse.
E
xercice 6. Soitf : ([,+∞[,B([,+∞[)→([,+∞[,B([,+∞[)) une fonion mesurable.. Montrer que l’on d´efinit une fonion continueF: [,+∞[→Rpar la formule F(x) =
Z∞
aran(xf(t))
+t dt , x≥.
. Calculer la limite deF(x) quandx→ ∞.
. Montrer queFed´erivable sur ],+∞[.
. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surf pour queF soit d´erivable en.
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 7. On d´efinit une fonionµ:P(R)→[,+∞] par• µ(A) =siAeune partie finie ou d´enombrable,
• µ(A) = +∞sinon.
SoitK l’espace triadique de Cantor d´efini parK =
X
n≥
an
n : (an)n≥∈ {,}N
. On rappelle queK eun compade [,], infini non-d´enombrable et de mesure de Lebesgue nulle. On poseC={(x, y)∈R×R: x−y∈K}.
. V´erifier queµeune mesure sur (R,P(R)).
. Montrer queC∈ B(R)⊗ P(R).
. Calculer les int´egrales Z
R
Z
R
1C(x, y)µ(dy)
! dxet
Z
R
Z
R
1C(x, y)dx
!
µ(dy). Conclure.
E
xercice 8. Soientµetνdeux mesuresσ-finies sur la tribu bor´elienne deR.. Montrer que l’ensembleDµ={x∈R:µ({x})>}efini ou d´enombrable.
. Soit∆={(x, x) :x∈R}la diagonale deR. Montrer queµ⊗ν(∆) =X
x∈R
µ({x})ν({x}).
E
xercice 9. (La fonionΓ)Pour toutt >on pose
Γ(t) = Z ∞
xt−e−xdx.
. Montrer que ceci d´efinit une fonion de classeC∞ surR∗
+.
. Montrer la formule d’Euler : pour toutt >, Γ(t) = lim
n→∞
ntn!
t(t+). . .(t+n).
Indication :on pourra consid´erer la suite de fonions (fn)n≥d´efinies par fn:x∈],∞[7→],n[(x)
−x n
n
xt−.
E
xercice 10. Soitϕ : ([,],B([,]))→(R,B(R)) une fonion int´egrable pour la mesure de Lebesgue.On d´efinitG:R→R+par
G(t) = Z
[,]
|ϕ(x)−t|dx.
. Montrer queGecontinue surR.
. Montrer queGed´erivable ent∈Rsi et seulement si λ({ϕ=t}) =, o `uλd´esigne la mesure de Lebesgue.
Fin
