1 Th´ eor` emes g´ en´ eraux

Int´egrales d´ependant d’un param`etre

Table des mati` eres

1 Th´eor`emes g´en´eraux 1

2 Etude de la fonction Gamma : hors programme 5

1 Th´ eor` emes g´ en´ eraux

Notation. I d´esignera un intervalle inclus dans R d’int´erieur non vide.

Th´eor`eme. Continuit´e sous le signe Z

.SoientEun espace vectoriel de dimension finie sur K (o`u K d´esigne R ou C), A une partie de E, et f : A×I −→ K

(x, t) 7−→ f(x, t) une application.

Hypoth`eses.

Pour toutt ∈I, x7−→f(x, t) est continue sur A.

Pour toutx∈A, t 7−→f(x, t) est continue par morceaux surI. Hypoth`ese de domination. Il existeϕ :I −→R+ telle que

∀x∈A ∀t∈I |f(x, t)| ≤ϕ(t).

ϕest continue par morceaux et int´egrable sur I.

Conclusion.

L’application

g : A −→ K x 7−→

Z

I

f(x, t)dt est d´efinie et continue sur A.

D´emonstration.

• Soit x ∈ A. ∀t ∈ I |f(x, t)| ≤ ϕ(t), et ϕ est int´egrable sur I, donc l’application t7−→f(x, t) est int´egrable sur I, ce qui prouve que g est d´efinie sur A.

• Fixons x∈A et montrons que g est continue en x.

Soit (x_n)n∈N ∈A^N une suite telle que x_n −→

n→+∞x.

Pour tout (n, t)∈N×I, notonsf_n(t) =f(x_n, t).

(fn)n∈N est une suite d’applications de I dans K, continues par morceaux sur I, do- min´ees par ϕ :I −→R+ qui est continue par morceaux et int´egrable sur I.

Soit t∈I.x⁰ 7−→f(x⁰, t) est continue, donc f_n(t) = f(x_n, t) −→

n→+∞f(x, t).

Int´egrales d´ependant d’un param`etre 1 Th´eor`emes g´en´eraux Ainsi fn

CVS−→

I n→+∞

f(x, .), et f(x, .) est continue par morceaux sur I. On peut donc appli- quer le th´eor`eme de convergence domin´ee. g(x_n) =

Z

I

f_n −→

n→+∞

Z

I

f(x, .) = g(x). Ainsi g est continue en x.

Remarque. Les hypoth`eses de continuit´e par morceaux, impos´ees par les limitations du programme, n’ont pas l’importance de l’hypoth`ese de domination.

Corollaire. Continuit´e sous le signe Z

(Raffinement des hypoth`eses). Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur K (o`u K d´esigne R ou C), A une partie de E, et f : A×I −→ K

(x, t) 7−→ f(x, t) une application.

Hypoth`eses.

Pour toutt ∈I, x7−→f(x, t) est continue sur A.

Pour toutx∈A, t 7−→f(x, t) est continue par morceaux surI.

Hypoth`ese de domination. Pour tout a∈A, il existe un voisinage K de a, il existe ϕ<sub>K</sub> :I −→R+ telle que ∀x∈K∩A ∀t∈I |f(x, t)| ≤ϕ<sub>K</sub>(t), o`uϕ_K est continue par morceaux et int´egrable sur I.

Conclusion.

L’application

g : A −→ K x 7−→

Z

I

f(x, t)dt est d´efinie et continue sur A.

D´emonstration.

D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, pour tout a∈A, il existe un voisinage K dea tel que g/K∩Aest d´efinie et continue. La continuit´e ena´etant une notion locale au point a, on en d´eduit que g est continue sur A.

Corollaire. Continuit´e sous le signe Z

(une derni`ere variante).

On suppose que A est un intervalle de R. Soit f : A×I −→ K (x, t) 7−→ f(x, t). Hypoth`eses.

Pour toutt ∈I, x7−→f(x, t) est continue sur A.

Pour toutx∈A, t 7−→f(x, t) est continue par morceaux surI. Hypoth`ese de domination. Pour tout segment K inclus dans A,

il existe ϕ_K :I −→R+ telle que ∀x∈K ∀t ∈I |f(x, t)| ≤ϕ_K(t), o`uϕK est continue par morceaux et int´egrable sur I.

Conclusion.

L’application

g : A −→ K x 7−→

Z

I

f(x, t)dt est d´efinie et continue sur A.

D´emonstration.

Il suffit de montrer que, pour touta∈A, il existe un voisinageV deatel queV∩A=K est un segment inclus dans I, puis d’utiliser le corollaire pr´ec´edent.

Une remarque fondamentale : lorsque I est un segment, c’est-`a-dire lorsque les int´egrales utilis´ees sont ordinaires, si f est continue sur A × I, dans le th´eor`eme pr´ec´edent, l’hypoth`ese de domination est imm´ediate `a valider. En effet, pour tout segment K, f_/K×I est une fonction continue sur un compact (un produit cart´esien de compacts est compact), donc elle est born´ee : il existe M ∈ R+ tel que, pour tout (x, t)∈K×I,|f(x, t)| ≤M. Or la fonction constante ´egale `aM est bien sˆur int´egrable sur le segment I.

Th´eor`eme. D´erivation sous le signe Z

, ou formule de Leibniz.

SoientA un intervalle d’int´erieur non vide inclus dansRet f : A×I −→ K (x, t) 7−→ f(x, t). Hypoth`eses.

Pour toutx∈A, t 7−→f(x, t) est continue par morceaux et int´egrable surI.

∂f

∂x est d´efinie sur A×I et v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent.

Conclusions.

L’application

g : A −→ K x 7−→

Z

I

f(x, t)dt est de classe C¹ sur A.

∀x∈A g⁰(x) = Z

I

∂f

∂x(x, t)dt.

D´emonstration.

g est d´efini surA d’apr`es la premi`ere hypoth`ese.

Notons

h : A −→ K x 7−→

Z

I

∂f

∂x(x, t)dt. h est d´efinie et continue d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

Soit x∈A. Il s’agit de montrer queg est d´erivable en x et que g⁰(x) =h(x).

Soit (x_n) une suite d’´el´ements de A\ {x} telle quex_n −→

n→+∞x. Il s’agit de montrer que g(x_n)−g(x)

x_n−x −→

n→+∞h(x).

Pour toutn ∈N, g(x_n)−g(x) x_n−x =

Z

I

g_n(t)dt, o`u g_n(t) = f(x_n, t)−f(x, t) x_n−x . Pour tout n∈N, g_n est continue par morceaux et int´egrable sur I,

g_n CVS

−→I n→+∞

Ψ o`u Ψ(t) = ∂f

∂x(x, t) et Ψ est continue par morceaux sur I.

De plus, pour tout n∈N ett ∈I, d’apr`es l’in´egalit´e des accroissements finis,

|gn(t)| ≤ sup

y∈]xn,x[

|∂f

∂x(y, t)| ≤ ϕ(t), car on suppose que ∂f

∂x satisfait les hypoth`eses du premier th´eor`eme.ϕ´etant continue par morceaux et int´egrable surI, on peut appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee, donc

Z

I

g_n(t)dt −→

n→+∞

Z

I

Ψ(t)dt =h(x).

Int´egrales d´ependant d’un param`etre 1 Th´eor`emes g´en´eraux Th´eor`eme. D´erivation sous le signe

Z

, ou formule de Leibniz. (Raffinement des hypoth`eses) Soit k∈N^∗.

SoientA un intervalle d’int´erieur non vide inclus dansRet f : A×I −→ K (x, t) 7−→ f(x, t). Hypoth`eses.

∂^kf

∂x^k est d´efinie sur A×I.

Pour toutx∈A et j ∈ {0, . . . , k−1}, t 7−→ ∂^jf

∂x^j(x, t) est continue par morceaux et int´egrable sur I.

∂^kf

∂x^k est continue selon sa premi`ere variable

et continue par morceaux selon sa seconde variable.

Pour tout segmentK de A, il existe ϕK :I −→R⁺ telle que∀x∈K ∀t∈I

|∂^kf

∂x^k(x, t)| ≤ϕ_K(t) avec ϕ_K continue par morceaux et int´egrable sur I.

Conclusions.

L’application

g : A −→ K x 7−→

Z

I

f(x, t)dt est de classe C^k surA.

∀x∈A ,∀j ∈ {0, . . . , k} g^(j)(x) = Z

I

∂^jf

∂x^j(x, t)dt.

D´emonstration.

Notons R(k) cette propri´et´e.

Pourk = 1, R(1) se d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent.

Pourk ≥2, supposons R(k−1) et d´emontronsR(k).

Soit donc f v´erifiant les hypoth`eses ci-dessus `a l’ordre k.

Soit K un segment inclus dans A. Fixons a ∈ K. L’in´egalit´e des accroissements finis donne, pour tout (x, t)∈K×I,

|∂^k−1f

∂x^k−1(x, t)− ∂^k−1f

∂x^k−1(a, t)| ≤ |x−a|ϕ_K(t)≤Aϕ_K(t) o`uA est un majorant de x7−→ |x−a|sur le compact K. Ainsi |∂^k−1f

∂x^k−1(x, t)| ≤Aϕ_K(t) +|∂^k−1f

∂x^k−1(a, t)|= Ψ_K(t) et ΨK est int´egrable sur I.

On peut donc appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence : L’application

g : A −→ K x 7−→

Z

I

f(x, t)dt est de classe C^k−1 sur A et

∀x∈A ,∀j ∈ {0, . . . , k−1} g^(j)(x) = Z

I

∂^jf

∂x^j(x, t)dt.

De plus, le th´eor`eme pr´ec´edent peut ˆetre appliqu´e `a ∂^k−1f

∂x^k−1, ce qui montre que g^(k−1) est de classe C¹ et que ∀x∈A , g^(k)(x) =

Z

I

∂^kf

∂x^k(x, t)dt.

Ceci prouve R(k).

Remarque. L`a aussi, siI est un segment et si ∂^kf

∂x^k est continue surA×I, l’hypoth`ese de domination est assur´ee par une fonction constante.

2 Etude de la fonction Gamma : hors programme

D´efinition. On note Γ =

x7−→

Z +∞

0

e^−tt^x−1dt

. Le domaine de d´efinition de Γ est R^∗+.

D´emonstration.

Soit x∈R. Pour t au voisinage de 0, e^−tt^x−1 ∼t^x−1, donc t7−→e^−tt^x−1 est int´egrable sur ]0,1] si et seulement si 1−x <1, c’est-`a-dire si et seulement si x∈R^∗+.

Pour t au voisinage de +∞, e^−tt^x−1 = o 1

t²

, donc t 7−→ e^−tt^x−1 est int´egrable sur [1,+∞[. Ainsi t 7−→e^−tt^x−1 est int´egrable sur ]0,+∞[ si et seulement si x >0, ce qui prouve que le domaine de d´efinition de Γ est R^∗+.

Propri´et´e. Γ est de classeC^∞ sur R^∗+ et, pour tout k ∈N, pour tout x∈R^∗+,

(1) Γ^(k)(x) =

Z +∞

0

(lnt)^ke^−tt^x−1dt.

D´emonstration.

Notons f : R^∗+

2 −→ R

(x, t) 7−→ e^−tt^x−1. Pour tout k∈N,

∂^kf

∂x^k : R^∗+

2 −→ R

(x, t) 7−→ (lnt)^ke^−tt^x−1

est d´efinie et continue surR^∗+. Soit J = [a, A] (avec a < A) un intervalle compact inclus dans R^∗+.

Soient k ∈ N et (x, t) ∈ [a, A]×R^∗+.

∂^kf

∂x^k(x, t)

≤ ϕ_k(t), o`u ϕ_k est d´efinie par les relations suivantes : si t∈]0,1],ϕk(t) =|lnt|^ke^−tt^a−1, et si t∈[1,+∞[,

ϕ_k(t) = (lnt)^ke^−tt^A−1.

ϕ_k est continue sur R^∗+. Montrons qu’elle est int´egrable surR^∗+.

Pourtau voisinage de 0, (lnt)^ke^−tt^a−1 ∼(lnt)^kt^a−1 =o(t^b−1), o`ub ∈]0, a[. Or 1−b <1, donc ϕ_k est int´egrable sur ]0,1].

De plus, pour t au voisinage de +∞, (lnt)^ke^−tt^A−1 =o 1

t²

,

donc ϕ_k est int´egrable sur [1,+∞[. Ainsi ϕ_k est int´egrable sur ]0,+∞[.

On peut donc appliquer la formule de Leibniz, ce qui prouve (par r´ecurrence surk) que pour tout intervalle compact J inclus dans R^∗+, Γ_/J est C^∞ et v´erifie la relation

Int´egrales d´ependant d’un param`etre2 Etude de la fonction Gamma : hors programme (1) sur J. Or pour tout x ∈ R^∗+, il existe un intervalle compact J inclus dans R^∗+ qui est voisinage de x, donc Γ est de classe C^∞ sur R^∗+ et v´erifie (1) sur R^∗+.

Formule. ∀x∈R^∗+ Γ(x+ 1) =xΓ(x) . En particulier, ∀n∈N^∗ Γ(n) = (n−1)! . D´emonstration.

Soit x∈R^∗+. Soit (a, A)∈R^∗+

2 aveca < A. Par int´egration par parties, Z A

a

e^−tt^xdt= [−e^−tt^x]^A_a + Z A

a

e^−txt^x−1dt, donc, en faisant tendre a vers 0, Z A

0

e^−tt^xdt=−e^−AA^x+ Z A

0

e^−txt^x−1dt, puis en faisant tendre A vers +∞, Γ(x+ 1) =xΓ(x). La seconde formule s’en d´eduit par r´ecurrence,

car Γ(1) = Z +∞

0

e^−tdt= [−e^−t]^+∞₀ = 1.

Remarque. Il est ainsi naturel de prolonger Γ sur ]−1,0[, en posant, pour tout x∈]−1,0[, Γ(x) = Γ(x+ 1)

x .

Si l’on suppose Γ d´efinie sur ]−n,−n+ 1[, pour n ∈N^∗, le mˆeme proc´ed´e permet de d´efinir Γ sur ]−n−1,−n[.

On peut ainsi prolonger Γ sur R\Z⁻ en une application de classe C^∞. Exercice.

Γ est convexe sur R^∗+.

Il existe un unique x₀ ∈]1,2[ tel que Γ⁰(x₀) = 0.

Γ est strictement d´ecroissante sur ]0, x0] et elle est strictement croissante sur [x₀,+∞[.

Γ(x) ∼

x^x>0_→ 0

1

x et, pour toutα >0, lorsque x tend vers +∞,x^α =o(Γ(x)).

Solution :

Pour tout x∈R^∗+, Γ⁰⁰(x) = Z +∞

0

(lnt)²e^−tt^x−1dt≥0, donc Γ est une applica- tion convexe.

Soit x ∈ R^∗+. Si Γ⁰⁰(x) = 0, l’application t 7−→ (lnt)²e^−tt^x−1 est positive et continue surR^∗+et son int´egrale est nulle, donc cette application est identiquement nulle, ce qui est faux. Ainsi, pour toutx∈R^∗+, Γ⁰⁰(x)>0.

On en d´eduit que Γ⁰ est une application strictement croissante, donc il existe au plus un r´eel x₀ >0 tel que Γ⁰(x₀) = 0.

De plus Γ(1) = 0! = 1 = 1! = Γ(2), donc, d’apr`es le lemme de Rolle, il existe au moins un r´eel x₀ ∈]1,2[ tel que Γ⁰(x₀) = 0.

Γ⁰ ´etant strictement croissante, pour tout x ∈]0, x₀[, Γ⁰(x) < 0 et, pour tout x∈]x0,+∞[, Γ⁰(x)>0.

Soit x ∈ R^∗+. xΓ(x) = Γ(x + 1) −→

x→0 Γ(1) = 1, car Γ est continue, donc Γ(x) ∼

x^x>00

1 x.

Pour tout x≥2, Γ(x)≥Γ(E(x)) = (E(x)−1)!, donc, 0≤ x^α

Γ(x) ≤ (E(x) + 1)^α (E(x)−1)! −→

x→+∞0, car (n+ 1)^α (n−1)! −→

n→+∞0.