1 Th´ eor` eme de Hahn-Banach : forme analytique

(1)

Th´eor`emes de Hahn–Banach Forme analytique.

Forme g´eom´etrique.

1 Th´ eor` eme de Hahn-Banach : forme analytique

Exercice 1 SoitF un sous-espace vectoriel d’un espace normé réel (E,k·k) etg:F→Rune application linéaire continue. Un prolongement de Hahn-Banach degest une application linéaire continuef:E→R telle quef|F =g etkfk=kgk.

Montrer qu il n’y a pas, en général, unicité du prolongement. Discuter en particulier le cas E=R², avec de différentes normes.

Exercice 2 SoitEun espace de Banach de dimension infinie. Montrer queE^∗est de dimension infinie.

Exercice 3 SoitE un espace vectoriel norm´e surC. Comparer les formules kϕkE^∗= sup

x∈E,kxkE=1

|ϕ(x)|

et

kxkE= max

ϕ∈E^∗,kϕkE∗=1|ϕ(x)|.

Laquelle est une conséquence de Hahn-Banach ? Montrer qu’en général le sup n’est pas un max dans la première formule.

(Indication : on pourra chercher un exemple d’une applicationϕ∈(`¹)^∗de la formeϕ(x) =P

kαkxk o`u (αk) est bien choisie ).

Exercice 4 SoientE et F deux e.v.n. Montrer que

F est de Banach ⇐⇒ L(E, F) est de Banach.

Pour l’implication “⇐” on considérer une suite de Cauchy (yn) dansF. Considérer ensuite les opérateurs linéairesTn:E→F de la formeTn(x) =f(x)yn, où f ∈E^∗,f 6= 0.

Exercice 5 Soient Eet F des espaces normés et soitT :E →F une application linéaire continue. On noteT^∗:F^∗→E^∗ l’opérateur linéaire adjoint, défini parhT^∗v, xi=hv, T xi.

1. D´emontrer quekTk=kT^∗k.

2. D´emontrer que Im(T) est dense dansF si et seulement siT^∗ est injectif.

Exercice 6 Soit E un K-espace vectoriel norm´e, M un sous-espace vectoriel ferm´e de E et soient x₀∈E\M. Montrer qu’il existeϕ∈E^∗ tel que

ϕ|_M = 0,kϕk= 1, ϕ(x₀) =d(x₀, M).

Exercice 7 SoitE un espace norm´e tel queE^∗ est s´eparable.

1. Montrer, en utilisant la séparabilité deS^∗={x^∗∈E^∗:kx^∗k= 1}qu’il existe une famille{x^∗_n:n∈ N}d’éléments deS^∗dense dansS^∗et une famille{xn :n∈N}d’éléments deS ={x∈E:kxk= 1}

telles que|x^∗_n(xn)| ≥³₄ pour toutn∈N. 2. En d´eduire queE est s´eparable.

1

www.al3abkari-pro.com

(2)

Remarque : la réciproque est fausse, c’est-à-dire qu’un espace norméEpeut-être séparable sans que son dual le soit (`¹ est séparable mais son dual`^∞ ne l’est pas).

Exercice 8 Soit E un espace vectoriel norm´e, soit E^∗ son dual et soit E^∗∗ le dual de E^∗, que l’on appelle aussi le bidual deE. Montrer que l’applicationJ :E→E^∗∗ d´efinie par

[J(x)](f) =f(x), f ∈E^∗ est une application linéaire isométrique, c.-à-d.kJ(x)k=kxk.

Interpreter cette ´egalit´e dans le cas E= (Rⁿ,k · k2).

Il est d’usage d’identifierE avecJ(E), sous-espace deE^∗∗, et ainsi de consid´erer, via cette identifica- tion,X comme un sous-espace de E^∗∗. LorsqueJ est surjective, et doncE =E^∗∗, on dit que E est un espace r´eflexif.

Montrer que siE n’est pas de Banach, alorsJ n’est pas surjective.

Exercice 9 Soient E unK-espace vectoriel norm´e,A une partie deE, f :A→Kune application et c∈R+. Montrer qu’il existe ˜f ∈E^∗ telle que

f˜|A=f et kf˜k ≤c si et seulement si

∀n∈N^∗,∀(x₁,· · ·, x_n)∈Aⁿ,∀(λ₁,· · ·, λ_n)∈Kⁿ,

n

X

i=1

λ_if(x_i) ≤c

n

X

i=1

λ_ix_i .

2 Th´ eor` emes de Hahn-Banach : forme g´ eom´ etrique, s´ eparation de convexes disjoints

Dans cette partie tous les e.v.n. sont r´eels.

Définition.SiE est unR-espace vectoriel, un hyperplan (affine) surE est un ensemble de la forme H ={x∈E: ϕ(x) =γ}, oùϕ:E→Rest une application linéaire,ϕ6= 0 etγ∈R.

Exercice 10

1. Montrer que tous les hyperplans deEsont de la formeH = Ker(ϕ) +{x0}, avecϕ: E→Rlin´eaire, et r´eciproquement.

2. Soitϕ:E→Rune application lin´eairenon continue. D´emontrer que Kerϕest dense dansE.

3. Conclure qu’un hyperplan Kerϕ+{x0} est ferm´e si et seulement siϕ∈E^∗\{0}.

Rappelons les r´esultats du cours suivants :

Théorème 1 (Hahn–Banach). SoitE unR-espace vectoriel normé et soientA et B deux convexes non vides deE. On suppose que d(A, B) >0 (en particulier, A et B sont disjoints). Il existe alors un hyperplan affine fermé séparantA etB au sens large, i.e.

∃ϕ∈E^∗\{0}, ∃γ∈R, t.q. ∀x∈A, ∀y∈B, ϕ(x)≤γ≤ϕ(y).

De plus, dans ce casAet B peuvent être séparés même au sens strict :

∃ϕ∈E^∗, ∃γ∈R, >0 t.q. ∀x∈A, ∀y∈B, ϕ(x)≤γ− < γ+≤ϕ(y).

Voici une variante de ce th´eor`eme (voir [Brezis]), utile quandd(A, B) = 0 :

Théorème 2 (Hahn–Banach). Soit E unR-espace vectoriel normé et soient A et B deux convexes disjoints non vides de E. On supposeA ouvert. Il existe alors un hyperplan affine fermé séparant A et B au sens large.

Exercice 11

2

www.al3abkari-pro.com

(3)

1. Montrer que E est de dimension infinie, il existe deux parties A et B de E convexes et denses, telles queA∩B =∅ et E =A∪B. (Indication : il existe une application lin´eairef:E →Rnon continue. . .)

2. Peut-on séparerA et B avec un hyperplan fermé ? Comparer votre réponse avec les théorèmes de Hahn–Banach géométriques ci-dessus.

Exercice 12 SoitE un espace vectoriel norm´e et soit E^∗son dual. Pour A⊂E on pose : A^⊥={f ∈E^∗|f(x) = 0, x∈A}.

PourB ⊂E^∗ on pose :

⊥B ={x∈E|f(x) = 0, f ∈B}.

Montrer que siF est un sous-espace vectoriel deE alors son adh´erenceF=^⊥(F^⊥).

Exercice 13 Soit E un R-espace vectoriel normé et soit A un ensemble convexe fermé non vide de E. Montrer que A est l’intersection de tous les demi-espaces fermés contenant A. On rappelle qu’un demi-espaceD est défini par la donnée deϕ∈E^∗\{0} et deγ∈Rtels que D={x∈E|ϕ(x)≤γ} ou D={x∈E|ϕ(x)≥γ}.

(Interpretation : Tout convexe ferm´e (avec la topologie forte) est faiblement ferm´e.)

Exercice 14 (Jauge d’un convexe) SoitE un e.v.n. etC⊂E un ouvert convexe, tel que 0∈C. On pose

∀x∈E p(x) = inf{α >0 : α⁻¹x∈C}.

1. Montrer que∃M >0 telle que 0≤p(x)≤Mkxkpour toutx∈E.

2. Montrer queC={x∈E:p(x)<1}.

3. V´erifier quep(λx) =λp(x) etp(x+y)≤p(x) +p(y) pour toutλ >0 etx, y∈E.

Exercice 15 (Hyperplan d’appui `a un ouvert convexe)

1. SoitC un ouvert convexe non vide etx0∈∂C. Montrer qu’il existef ∈E^∗ telle quef(x)< f(x0) pour toutx∈C.

(Indication :On peut se ramener au cas 0∈C. Considérer ensuite l’application linéaireg: Vect{x0} → R, définie parg(tx0) =tet considérer un prolongement de Hahn–Banach.)

2. Comparer ce résultat avec les théorèmes de Hahn-Banach géométriques 1 et 2 ci-dessus.

Exercice 16 SoientAetB deux convexes disjoints non vides d’un e.v.n r´eelE. On supposeAouvert.

1. Montrer queC=A−B est un ouvert convexe et que 06∈C.

2. Supposons maintenant 0∈∂C. Montrer qu’il existef ∈E^∗ tel quef(x)< f(y) pour toutx∈Aet tout y∈B.

(Indication : utiliser l’exercice pr´ec´edent.)

3. Supposons maintenant 06∈∂C. Démontrer que la conclusion de la question précédente reste vraie (utiliser le théorème de Hahn–Banach géométrique N. 1).

4. En déduire une (petite) amélioration du théorème de Hahn–Banach N. 2.

Exercice 17 (janvier 2004) SoitE un espace vectoriel norm´e et soitCun ensemble non vide convexe et compact de E. Pour tout i ∈ {1, . . . , m}, soit fi : E → R une application continue et convexe. On d´efinit

G=n

y= (y1, . . . , ym)∈R^m| ∃x∈C pour lequelfi(x)≤yi pour touti∈ {1, . . . , m}o et

S=n

x∈C|fi(x)≤0 pour touti∈ {1, . . . , m}o . On supposeS=∅.

3

www.al3abkari-pro.com

(4)

1. Montrer queGest convexe et exprimer en termes deGl’hypoth`ese S=∅.

2. Montrer qu’il existeε >0 et des r´eels positifsλ1, . . . , λmnon tous nuls tels que pour toutx∈C :

m

X

i=1

λifi(x)≥ε .

Indication: on montrera tout d’abord queGest ferm´e.

4