ECS1 H. Boucher pour le 15/12/2020 Devoir maison no4
La pr´esentation, l’orthographe et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte.
Les r´esultats des questions non r´esolues pourront ˆetre admis pour la suite.
Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .
La recherche de l’int´egralit´e du sujet est indispensable pour tous.
Cependant, vous r´edigerez un devoir par binˆome. Bien sˆur les ´ecritures des deux signataires devront apparaˆıtre de mani`ere significative dans la copie.
Probl`eme 1
Soit p∈N etn∈N. Soit E un ensemble `a n´el´ements :E={e1, . . . , en}. On appelleCn,p le nombre de
combinaisons de p ´el´ements choisis dans E avec r´ep´etitions possibles. Autrement dit, on consid`ere des tirages de p´el´ements de E avec remise, mais sans tenir compte de l’ordre. On consid´erera queCn,0 = 1.
Un petit exemple pour bien comprendre : C2,3 = 4. En effet, on consid`ere les tirages de 3 ´el´ements, chacun pris dansE ={e1,e2}, sans tenir compte de l’ordre. Cela donne 4 issues possibles :
• {e1,e1,e1} (3 fois e1),
• {e1,e1,e2} (2 fois e1, une fois e2, peu importe dans quel ordre),
• {e1,e2,e2},
• {e2,e2,e2}.
1. Autre exemple : on lance 3 d´es indiscernables `a 6 faces. Le nombre de r´esultats possible estC6,3. ´Ecrire la liste compl`ete des r´esultats possibles (qui commence par 111, 112, 113, 114, 115, 116, 122, 123,etc.) et en d´eduireC6,3.
2. D´emontrer que Cn,p est ´egal au nombre d’applications croissantes deJ1,pKvers J1,nK. 3. Montrer que
Cn,p=
(
(x1, . . . ,xn)∈Nn,
n
X
k=1
xk=p )
.
4. Soientm,n∈N tels que 06m6n. Montrer que
n
X
j=m
j m
=
n+ 1 m+ 1
.
5. Montrer que, toujours pour p∈Netn∈N∗, Cn+1,p=
p
X
k=0
Cn,k
6. Montrer par r´ecurrence surn queCn,p=
n+p−1 p
.
7. Combien y a-t-il d’issues possibles lors d’un premier lancer de d´es au yam’s (ou yahtzee : jeu ou l’on lance pour commencer 5 d´es classiques) ?
1
8. On suppose cette fois que n,p∈N∗. Exprimer simplement la somme
n
X
k=0
(k+p−1)!
k!
(ou, si vous le pr´ef´erez en toutes lettres, la somme des (p−1)-arrangements de (k+p−1) ´el´ements).
Probl`eme 2 Th´eor`eme de Cantor-Bernstein
Dans ce probl`eme on g´en´eralise `a des ensembles infinis la notion de cardinal et en particulier l’id´ee de deux ensemble ayant le mˆeme cardinal.
La partieEquipotence´ est obligatoire. La deuxi`eme partie qui d´emontre le th´eor`eme de Cantor-Bernstein est facultative, moins dans l’esprit du programme ECS (mais bien dans l’esprit d’une ´epreuve maths 2 de parisiennes). Voir l’´enonc´e sur la page 3 en ligne (ou r´eclamez-la si besoin).
Equipotence ´
Soient X etY deux ensembles. On dit que X est ´equipotent `a Y s’il existe une bijection u :X → Y. On note alors X∼Y.
1. Propri´et´es de la relation d’´equipotence.
(a) Montrer que, pour tout ensembleX, on a X∼X.
(b) Montrer que, pour tous ensemblesX etY, on aX∼Y ⇔Y ∼X.
(c) Montrer que, pour tous ensemblesX, Y etZ, (X∼Y etY ∼Z) implique X∼Z.
2. Exemple c´el`ebre.
On cherche `a num´eroter les ´el´ements de N2
`
a l’aide des entiers (N). Pour cela on adopte la strat´egie suivante : on num´erote en sui- vant des diagonales successives comme repr´esent´e sur le dessin suivant. La num´erotation est
(0,0) 7−→ 0 (1,0) 7−→ 1 (0,1) 7−→ 2 (2,0) 7−→ 3 (1,1) 7−→ 4 (0,2) 7−→ 5
,etc.
0 1
2
3 4 5
6 7 8 9
10 (a) `A quel num´ero est associ´e le point (p,0) pour p∈N?
(b) ´Etablir une formule pour le num´ero associ´e au point (p,q) ∈N2. Cerise sur le gˆateau : montrer qu’elle est bien bijective.
3. M´ethode moins explicite. On d´efinit :
f :N2 → N
(p,q) 7→ 2p×3q . (a) Montrer quef est injective.
(b) Construire une injection g deN dansN2.
On en d´eduit queN etN2 sont ´equipotents par le th´eor`eme de Cantor-Bernstein selon lequel Etant donn´´ es deux ensembles non vides E et F, s’il existe une injection de E dansF et une injection de F dansE, alors il existe une bijection entre E etF.
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Le th´ eor` eme
SoientE etF deux ensembles non vides. On suppose qu’on af :E→F etg:F →E deux applications toutes deux injectives.
On d´efinit l’image r´eciproque d’une partie B par la fonction g :
←−g(B) ={y∈F, g(y)∈B}.
4. Dans cette question, on consid`ereA⊂E etB⊂E deux parties qui v´erifient (i) A∩B =∅
(ii) A∪B =E (iii) B ⊂g(F)
(iv) f(A)∩ ←−g(B) =∅ (v) f(A)∪ ←−g(B) =F
(a) Montrer que tout a∈B admet un ant´ec´edent par get qu’il est unique. On le notera eg(a).
(b) On pose, pour tout x∈E,h(x) =
(f(x) six∈A, eg(x) six∈B .
Montrer que cela permet de d´efinir une applicationh:E →F et queh est alors bijective.
5. On d´efinit une suite de parties de E par
(D0 =E\g(F)
∀n∈N, Dn+1=g(f(Dn)) .
Puis on d´efinitA⊂Ecomme la r´eunion de tous les ensemblesDnpourn∈N(ceci se noteA= [
n∈N
Dn) et on d´efinit enfin B comme E\A, c’est-`a-dire le compl´ementaire de A dansE.
Montrer que les ensemblesA etB ainsi d´efinis v´erifient les cinq conditions de la question 4.
6. En d´eduire le th´eor`eme de Cantor-Bernstein.
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