Activit´e de math´ematiques
D´emonstrations par les aires
Th´ eor` eme des milieux
On consid`ere un triangle quelconqueABC et on appelleM le milieux du segment [AB]. La droite parall`ele `a la droite (BC) passant par le point M coupe le segment [AC] en N.
1. Prouver que les triangles AM N etBM N ont mˆeme aire.
2. Prouver que les triangles BM N etCM N ont mˆeme aire.
3. En d´eduire que les trianglesAM N etCM N ont mˆeme aire.
4. Prouver que le pointN est le milieu du segment [AC].
Th´ eor` eme de Thal` es
On consid`ere un triangle quelconqueABC et deux pointsM etN situ´es respectivement sur les cˆot´es [AB] et [AC] tels que (M N)//(BC). La droite parall`ele `a la droite (AB) passant par le pointN coupe le segment [BC] en un pointP.
1. Prouver que le rapport des aires des triangles AM N et BM N est ´egal au rapport AMM B. Prouver que le rapport des aires des trianglesAM N etCM N est ´egal au rapport ANN C. 2. Prouver que les triangles BM N etCM N ont la mˆeme aire.
3. En d´eduire que AMM B = ANN C puis que AMAB = ANAC. 4. Montrer de la mˆeme mani`ere que CNN A = P BCP. 5. En d´eduire que M NBC = ANAC.
6. Conclure.
Th´ eor` eme de Pythagore
On consid`ere un triangle ABC rectangle en A et on construit ext´erieurement les carr´es ABDE,ACF G et BCHI. La droite perpendiculaire `a la droite (BC) passant par le point A coupe le segment [BC] en J et le segment [HI] en K.
1. Prouver que les triangles BDE etBCD ont mˆeme aire.
2. Prouver que les triangles BCDetABI ont mˆeme aire.
3. En d´eduire que les trianglesBDE etBIJ ont mˆeme aire.
4. Montrer que l’aire du carr´eABDE est ´egale `a l’aire du rectangle BIKJ. 5. Montrer que l’aire du carr´eACF G est ´egale `a l’aire du rectangle CHKJ. 6. Conclure
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