Activités de découverte Page 1
Défaut d’orthogonalité
ABC est un triangle quelconque du plan.
H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB),
est le « défaut d’orthogonalité » du triangle ABC défini par
2 2 2
2
AB AC BC
.
Lorsque l’angle AB AC
, est aigu
On remarque dans ce cas que le point H est situé sur le segment [AB]. Nous avons donc la relation AB AH HB .
En utilisant deux fois le théorème de Pythagore dans la configuration et en utilisant la relation proposée ci-dessus, montrer que :
AB AH
En utilisant la définition du cosinus de l’angle
dans le triangle ACH rectangle en H, démontrer que :
cos ,
AB AC AB AC
Lorsque l’angle AB AC
, est obtus
On remarque dans ce cas que le point H est situé hors du segment [AB]. Nous avons donc la relation AB HB AH .
En utilisant deux fois le théorème de Pythagore dans la configuration et en utilisant la relation proposée ci-dessus, montrer que :
AB AH
En utilisant la définition du cosinus de l’angle
dans le triangle ACH rectangle en H, démontrer que :
cos ,
AB AC AB AC
Justifier que le « défaut d’orthogonalité » peut aussi s’écrire
2 2 2
2
AB AC ABAC
.
Effectuer à ce stade de l’étude un commentaire sur le nom « défaut d’orthogonalité » donné à la quantité . On notera que s’appelle également « produit scalaire » des vecteurs
ABet AC . On se place dans un repère orthonormé O i j
, , et on considère
AB xy
et
AC x y
les
coordonnées des vecteurs AB et AC dans ce repère. Prouver que
x x y y.
Activités de découverte Page 2
Dans un parallélogramme
On considère un parallélogramme de dimensions L et l . On note D et d les dimensions des deux diagonales. On étudie les quantités :
2 2 2
1 2
L l d
,
2 2 2
2 2
D L l
et
2 2
3 4
D d
.
Démontrer, en faisant intervenir les quantité p et
qproposées ci-dessus que
1 2 3.
Dans la configuration proposée ci-dessus, ABDC est un parallélogramme. On note AB u et AC v . La somme des vecteurs u v donne le vecteur AB . La différence des vecteurs u v donne le vecteur CB . On peut donc réécrire la relation précédente de la façon suivante :
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
u v u v uv u v uv u v
.
Activités de découverte Page 3
Produit scalaire de deux vecteurs
Etant donné deux vecteurs du plan u AB et v AC , on définit le produit scalaire entre les deux vecteurs u et v (que l’on note u v ) des différentes façons suivantes toutes équivalentes :
si l'angle est aigucos ,
si l'angle est obtus AB AH
AB AC AB AC AB AC
AB AH
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
u v u v u v u v u v u v
u v
u v x x y yoù x y
;et x y
; sont les coordonnées respectives de u et v . Premier exercice d’application directe
Dans chacun des cas, le vecteur u est le vecteur bleu, le vecteur v est le vecteur marron. Pour
chacun des cas proposés ci-dessous tracer un représentant du vecteur u v puis calculer
u v.
Activités de découverte Page 4
Deuxième exercice d’application directe
Pour chacune des huit configurations géométriques proposées ci-dessous, calculer le produit scalaire AB AC . Indiquer dans chaque cas l’expression du produit scalaire vous utilisez.
Situation 1
Situation 2
Situation 3
Situation 4
Situation 5
Situation 6
Situation 7
Situation 8
Activités de découverte Page 5
Une série d’exercices pour s’entraîner Exercice 1
La figure ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. Calculez les produits scalaires proposés ci-dessous :
OA OB OA OC OC CD
AB DE AD OE DC DF OC DB Exercice 2
En utilisant les renseignements portés sur la figure, calculez les produits scalaires proposés ci-dessous :
BH BC CH BH HA HB
A l’aide d’une décomposition vectorielle, montrer que BA BC
3et que CA BH
2. Exercice 3
ABCD est un losange de centre O tel que OA
4et OD
3. En utilisant les coordonnées des points, calculez les produits scalaires :
AB AD OC BA AD DC
En utilisant le projeté orthogonal d’un vecteur sur un autre, calculez les produits scalaires :
AC AD BO BC AB DC BC BD Exercice 4
A chacune des figures proposées ci- contre, associer parmi les égalités suivantes celle qui lui correspond :
Dans chacun des cas, illustrer l’égalité énoncée par une figure à main levée faisant intervenir trois
ou quatre points distincts AB AC
0/ AB AC
0/ AB AC
0/ AB AM AB AN .
Activités de découverte Page 6
Déterminer la mesure d’un angle Soit ABCD un rectangle tel que
4
AB et AD
2. On note
Ile milieu du segment AB .
En écrivant
DI DAAIet AC AD DC développez et évaluer le produit scalaire DI AC . Calculer les longueurs DI , AC et en déduire la valeur exacte du cosinus de l’angle géométrique IOC
Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle IOC . Droites perpendiculaires
Soit ABCD un rectangle tel que AB a et
2AD a . On note
Ile milieu du segment BC .
En écrivant
AI ABBIet
BDBAAD
évaluer le produit scalaire
AI BD. Qu’en déduisez-vous ?
Format commercial*
Vérifiez de deux manières différentes qu’une feuille A4 est de format commercial. Des pliages seront effectués sur cette même feuille, d’éventuelles mesures et calculs seront proposés.
(*) On indique qu’un rectangle est de format commercial lorsque le rapport
longueurlargeur
2.
Exercice d’application directe
ABCD est un carré de côté a . Les points
Iet J sont les milieux respectifs de AB et BC . Développer le produit scalaire CI DJ . Analyser les quatre termes du développement. Démontrer que (CI) et (DJ) sont perpendiculaires.
Reprendre le problème avec deux points I et J situés sur les
côtés AB et BC du carré de telle sorte que AI BJ .
Activités de découverte Page 7
Une série d’exercices pour s’entraîner Exercice 1
Le quadrilatère ABCD proposé ci-dessous est un carré de côté a . Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [CD]. On note l’angle géométrique IBJ .
En calculant de deux manières le produit scalaire BI BJ déterminer la mesure au degré près de l’angle .
Exercice 2
Le quadrilatère EFGH est un rectangle de format commercial (largeur a et longueur a
2). Les points K et L sont les milieux respectifs des côtés [EH] et [GH]. On note l’angle géométrique
KFL .
En calculant de deux manières le produit scalaire
FK FLdéterminer la mesure au degré près de l’angle .
Exercice 3
Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté a , AEFG est un carré de côté b . Les points E, A et B sont alignés. Les points D, A et G sont alignés. Les droites (AI) et (ED) semblent être perpendiculaires.
Sauriez-vous démontrer cette particularité en utilisant le produit scalaire des vecteurs
AIet
ED que vous décomposerez ? Exercice 4
Soient A et B deux points du plan et I le milieu du segment [AB]. Démontrer que pour tout point M on a l’égalité suivante connue sous le nom « théorème de la médiane » :
2 2
4
MA MB MI AB
Activités de découverte Page 8
Exercice 5
On travaille dans un triangle quelconque ABC. On note a , b et c les longueurs respectives des côtés [CB], [CA] et [AB].
Démontrer l’égalité suivante connue sous le nom de « formule d’Al-Kashi » :
² ² ² 2 cos
a b c bc BAC
Indications utiles : partir de l’égalité vectorielle BC AC AB puis développer le carré scalaire AC AB
2.
Sauriez-vous proposer deux formules analogues ? Exercice 6
On travaille dans un triangle quelconque ABC. On appelle
Hle projeté orthogonal du point A sur (BC). On note a , b et c les longueurs respectives des côtés [CB], [CA] et [AB]. Démontrer l’égalité suivante connue sous le nom de « formule de l’aire » :
1 sin S 2ac ABC
Indications utiles : partir de la formule donnant l’aire du triangle, puis exprimer la longueur AH en fonction de
sinB . Sauriez-vous proposer deux formules analogues ? Sauriez-vous en déduire une relation entre les quantités
sina A ,
sinb B et
sinc C appelée la « loi des sinus » ?
Exercice 7
On reprend la configuration de l’exercice précédent. ABC est un triangle quelconque et H est le projeté orthogonal du point A sur (BC). On note a , b et c les longueurs respectives des côtés [CB], [CA] et [AB] et on note
2 a b c
p
le demi-périmètre du triangle. Démontrer l’égalité suivante connue sous le nom de « formule de Héron » : S p p a p b p c .
Quelques indications utiles. Exprimer
cos B en fonction de a , b et c . En déduire que
2 2
2 2 2
2
2 2
sin 4
4
a c b a c
B a c
puis que
sin
B 2 p p
a
p b
p c
ac
. Conclure.
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Exercice 8
La situation décrite ci-contre est significative : il est plus facile pour un géomètre de mesurer des angles que des longueurs (points inaccessibles, obstacles,
…). Il s’agit de déterminer la longueur CD.
La loi des sinus appliquée à deux reprises ainsi que la relation d’Al Kashi seront les outils nécessaires au calcul de cette distance. Le résultat sera proposé au centimètre près.
Exercice 9
Le problème décrit ci-contre consiste à déterminer la surface de ce lac triangulaire entouré par des lots de terre carrés de 370, 74 et 116 hectares. Il s’agit donc de calculer l’aire S d’un triangle ABC sachant que
a2 370,
b2 74et
2 116