• Aucun résultat trouvé

AB  AC  BC

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "AB  AC  BC"

Copied!
9
0
0

Texte intégral

(1)

Activités de découverte Page 1

Défaut d’orthogonalité

ABC est un triangle quelconque du plan.

 H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB),

  est le « défaut d’orthogonalité » du triangle ABC défini par

2 2 2

2

ABACBC

  .

Lorsque l’angle AB AC

,

est aigu

On remarque dans ce cas que le point H est situé sur le segment [AB]. Nous avons donc la relation ABAHHB .

En utilisant deux fois le théorème de Pythagore dans la configuration et en utilisant la relation proposée ci-dessus, montrer que :

AB AH

  

En utilisant la définition du cosinus de l’angle

 dans le triangle ACH rectangle en H, démontrer que :

 

cos ,

AB AC AB AC

   

Lorsque l’angle AB AC

,

est obtus

On remarque dans ce cas que le point H est situé hors du segment [AB]. Nous avons donc la relation ABHBAH .

En utilisant deux fois le théorème de Pythagore dans la configuration et en utilisant la relation proposée ci-dessus, montrer que :

AB AH

   

En utilisant la définition du cosinus de l’angle

   dans le triangle ACH rectangle en H, démontrer que :

 

cos ,

AB AC AB AC

   

Justifier que le « défaut d’orthogonalité » peut aussi s’écrire

2 2 2

2

ABACABAC

 

.

Effectuer à ce stade de l’étude un commentaire sur le nom « défaut d’orthogonalité » donné à la quantité  . On notera que  s’appelle également « produit scalaire » des vecteurs

AB

et AC . On se place dans un repère orthonormé  O i j

, ,

 et on considère

AB x

y

  

 

et

AC x y

 

 

 

les

coordonnées des vecteurs AB et AC dans ce repère. Prouver que

    x xy y

.

(2)

Activités de découverte Page 2

Dans un parallélogramme

On considère un parallélogramme de dimensions L et l . On note D et d les dimensions des deux diagonales. On étudie les quantités :

2 2 2

1 2

L   l d

  ,

2 2 2

2 2

DLl

  et

2 2

3 4

Dd

  .

Démontrer, en faisant intervenir les quantité p et

q

proposées ci-dessus que       

1 2 3

.

Dans la configuration proposée ci-dessus, ABDC est un parallélogramme. On note ABu et ACv . La somme des vecteurs uv donne le vecteur AB . La différence des vecteurs uv donne le vecteur CB . On peut donc réécrire la relation précédente de la façon suivante :

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

uv  u v uvuv uv  u v

   

.

(3)

Activités de découverte Page 3

Produit scalaire de deux vecteurs

Etant donné deux vecteurs du plan uAB et vAC , on définit le produit scalaire entre les deux vecteurs u et v (que l’on note u v  ) des différentes façons suivantes toutes équivalentes :

  

si l'angle est aigu

cos ,

si l'angle est obtus AB AH

AB AC AB AC AB AC

AB AH

 

      

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

u v u v u v u v u v u v

u v         

   

u v    x xy y

où   x y

;

et  x y  

;

 sont les coordonnées respectives de u et v . Premier exercice d’application directe

Dans chacun des cas, le vecteur u est le vecteur bleu, le vecteur v est le vecteur marron. Pour

chacun des cas proposés ci-dessous tracer un représentant du vecteur uv puis calculer

u v

.

(4)

Activités de découverte Page 4

Deuxième exercice d’application directe

Pour chacune des huit configurations géométriques proposées ci-dessous, calculer le produit scalaire AB AC  . Indiquer dans chaque cas l’expression du produit scalaire vous utilisez.

Situation 1

Situation 2

Situation 3

Situation 4

Situation 5

Situation 6

Situation 7

Situation 8

(5)

Activités de découverte Page 5

Une série d’exercices pour s’entraîner Exercice 1

La figure ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. Calculez les produits scalaires proposés ci-dessous :

OA OB   OA OC   OC CD

AB DE   AD OE   DC DF   OC DBExercice 2

En utilisant les renseignements portés sur la figure, calculez les produits scalaires proposés ci-dessous :

BH BC   CH BH   HA HB

A l’aide d’une décomposition vectorielle, montrer que BA BC  

3

et que CA BH   

2

. Exercice 3

ABCD est un losange de centre O tel que OA

4

et OD

3

. En utilisant les coordonnées des points, calculez les produits scalaires :

AB AD   OC BA   AD DC

En utilisant le projeté orthogonal d’un vecteur sur un autre, calculez les produits scalaires :

AC AD   BO BC   AB DC   BC BDExercice 4

A chacune des figures proposées ci- contre, associer parmi les égalités suivantes celle qui lui correspond :

Dans chacun des cas, illustrer l’égalité énoncée par une figure à main levée faisant intervenir trois

ou quatre points distincts AB AC  

0

/ AB AC  

0

/ AB AC  

0

/ AB AM   AB AN  .

(6)

Activités de découverte Page 6

Déterminer la mesure d’un angle Soit ABCD un rectangle tel que

4

AB  et AD

2

. On note

I

le milieu du segment   AB .

En écrivant

DIDAAI

et ACADDC développez et évaluer le produit scalaire DI AC  . Calculer les longueurs DI , AC et en déduire la valeur exacte du cosinus de l’angle géométrique IOC

Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle IOC . Droites perpendiculaires

Soit ABCD un rectangle tel que ABa et

2

ADa . On note

I

le milieu du segment   BC .

En écrivant

AIABBI

et

BDBAAD

évaluer le produit scalaire

AI BD

. Qu’en déduisez-vous ?

Format commercial*

Vérifiez de deux manières différentes qu’une feuille A4 est de format commercial. Des pliages seront effectués sur cette même feuille, d’éventuelles mesures et calculs seront proposés.

(*) On indique qu’un rectangle est de format commercial lorsque le rapport

longueur

largeur

2

.

Exercice d’application directe

ABCD est un carré de côté a . Les points

I

et J sont les milieux respectifs de   AB et   BC . Développer le produit scalaire CI DJ  . Analyser les quatre termes du développement. Démontrer que (CI) et (DJ) sont perpendiculaires.

Reprendre le problème avec deux points I et J situés sur les

côtés   AB et   BC du carré de telle sorte que AIBJ .

(7)

Activités de découverte Page 7

Une série d’exercices pour s’entraîner Exercice 1

Le quadrilatère ABCD proposé ci-dessous est un carré de côté a . Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [CD]. On note  l’angle géométrique IBJ .

En calculant de deux manières le produit scalaire BI BJ  déterminer la mesure au degré près de l’angle  .

Exercice 2

Le quadrilatère EFGH est un rectangle de format commercial (largeur a et longueur a

2

). Les points K et L sont les milieux respectifs des côtés [EH] et [GH]. On note  l’angle géométrique

KFL .

En calculant de deux manières le produit scalaire

FK FL

déterminer la mesure au degré près de l’angle  .

Exercice 3

Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté a , AEFG est un carré de côté b . Les points E, A et B sont alignés. Les points D, A et G sont alignés. Les droites (AI) et (ED) semblent être perpendiculaires.

Sauriez-vous démontrer cette particularité en utilisant le produit scalaire des vecteurs

AI

et

ED que vous décomposerez ? Exercice 4

Soient A et B deux points du plan et I le milieu du segment [AB]. Démontrer que pour tout point M on a l’égalité suivante connue sous le nom « théorème de la médiane » :

2 2

4

MA MB   MIAB

(8)

Activités de découverte Page 8

Exercice 5

On travaille dans un triangle quelconque ABC. On note a , b et c les longueurs respectives des côtés [CB], [CA] et [AB].

Démontrer l’égalité suivante connue sous le nom de « formule d’Al-Kashi » :

 

² ² ² 2 cos

a    b c bc BAC

Indications utiles : partir de l’égalité vectorielle BCACAB puis développer le carré scalaire  AC AB

2

.

Sauriez-vous proposer deux formules analogues ? Exercice 6

On travaille dans un triangle quelconque ABC. On appelle

H

le projeté orthogonal du point A sur (BC). On note a , b et c les longueurs respectives des côtés [CB], [CA] et [AB]. Démontrer l’égalité suivante connue sous le nom de « formule de l’aire » :

 

1 sin S 2ac ABC

Indications utiles : partir de la formule donnant l’aire du triangle, puis exprimer la longueur AH en fonction de

sin

B . Sauriez-vous proposer deux formules analogues ? Sauriez-vous en déduire une relation entre les quantités

sin

a   A ,

sin

b   B et

sin

c   C appelée la « loi des sinus » ?

Exercice 7

On reprend la configuration de l’exercice précédent. ABC est un triangle quelconque et H est le projeté orthogonal du point A sur (BC). On note a , b et c les longueurs respectives des côtés [CB], [CA] et [AB] et on note

2 a b c

p  

le demi-périmètre du triangle. Démontrer l’égalité suivante connue sous le nom de « formule de Héron » : S p p a  p b  p c .

Quelques indications utiles. Exprimer

cos

  B en fonction de a , b et c . En déduire que

 

2 2

2 2 2

2

2 2

sin 4

4

a c b a c

B a c

  

puis que

sin

 

B 2 p p

a



p b



p c

ac   

. Conclure.

(9)

Activités de découverte Page 9

Exercice 8

La situation décrite ci-contre est significative : il est plus facile pour un géomètre de mesurer des angles que des longueurs (points inaccessibles, obstacles,

…). Il s’agit de déterminer la longueur CD.

La loi des sinus appliquée à deux reprises ainsi que la relation d’Al Kashi seront les outils nécessaires au calcul de cette distance. Le résultat sera proposé au centimètre près.

Exercice 9

Le problème décrit ci-contre consiste à déterminer la surface de ce lac triangulaire entouré par des lots de terre carrés de 370, 74 et 116 hectares. Il s’agit donc de calculer l’aire S d’un triangle ABC sachant que

a2 370

,

b2 74

et

2 116

c  .

Vous calculerez

cos

  A par application d’une formule d’Al-Kashi, vous en déduirez

sin

  A à l’aide de la relation liant le cosinus et le sinus, et enfin calculerez S par la formule de l’aire.

Exercice 10

On considère un triangle ABC. On note G le point d’intersection de ses médianes appelé centre de gravité, O le point d’intersection de ses médiatrices appelé centre du cercle circonscrit et H le point d’intersection de ses hauteurs appelé orthocentre. On appelle M le point défini par la relation vectorielle OMOA OB OC   . Démontrer dans un premier temps que le point M est confondu avec le point H. En déduire dans un deuxième temps que OH

3

OG . Que peut-on en déduire concernant la position de O, G et H ?

Indications : remarquer que AMAO OM  , justifier que AM BC OC OB   OC OB ,

en déduire que M appartient à la hauteur issue de A, reprendre et adapter le raisonnement…

Références

Documents relatifs

Par application de l'algorithm d'orthonormailsation de Schmidt, on trouve une famille orthonormale (( 1 , ..,  n ) qui est donc une base orthonormale de E. Théorème de la

Une droite d est orthogonale à toute droite d’un plan P si et

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de diverses façons.. C'est cette diversité qui en fait un

Le produit scalaire est une opération (fonction) qui prend en arguments deux vecteurs et qui renvoie un

• On appelle le produit scalaire du deux vecteurs

Montrez que la vitesse du véhicule peut être mesurée sans connaître l’angle que fait le système radar par rapport à la vitesse du véhicule (et qu’ainsi le/la gendarme

[r]

On peut d´efinir de plusieurs mani`eres le produit scalaire, selon le contexte on utilisera l’une de ces expressions. Th´ eor` eme 3 D´ efinitions ´