PRODUIT SCALAIRE

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Cours produit scalaire avec Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB

Tronc CS

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Présentation globale I) Le produit scalaire de deux vecteurs

II. Produit scalaire et norme

III. Produit scalaire et orthogonalité

IV) APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE I) Le produit scalaire de deux vecteurs

1) Définitions

Définition1 : Soit u et v deux vecteurs du plan. Et soient A ; B et C trois points du plan tel que :

uAB et v AC

On appelle produit scalaire de u par v, noté u v. , le nombre réel définit par :

Si u0 ou v0 alors u v. 0

Si u0 et v0 alors soit Hle projeté orthogonal de C sur la droite

 

^{AB alors :}

. .

u vAB AC AHAB c a d

. .

u vAB ACAH AB si AB et AH ont le même sens

. .

u v AB AC  AH AB si AB etAH ont un sens contraire

Remarque :

soient A ; B ; Cet D quatre points du plan .

AB CD A B CDAB C D   avec : A _; B _les projections orthogonales respectifs de A ; B

sur la droite

 

^{CD .}

Et C ; D les projections orthogonales respectifs de C et Dsur la droite

 

^AB

Application : Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A et direct et AB2cm

Calculer AB AC. et BA BC. et BACB. Réponse :

On a AB AC.  AB AA car : A est le projeté orthogonales de A sur

 

^{AB etB} est le projeté orthogonales de B sur

 

^AB

etA est le projeté orthogonales de C sur

 

^AB

donc AB AC.  AB AA  AB 0 0 de même On a BA BC. BA BA   2 2 4

de même On a BACB.  BA AB     2 2 4 Définition2:Soit un vecteur u et deux points A et B tels que uAB.

La norme du vecteur u, notée u c’est la distance AB.

Définition3 : Soit u et v deux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de u par v, noté u v. , le nombre réel définit par :

a)u v. 0, si l'un des deux vecteurs u et v est nul b) ^{u v.  u  v cos}

 

^{u v;} , dans le cas contraire.

.

u v se lit "u scalaire v".

Remarque :Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors :

. . cos

u vAB AC AB  AC  BAC

Exemple : Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

2 2

. cos

cos 1

3 2 2

AB AC AB AC BAC a a  a a

  

     

Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u v. 0 est une maladresse à éviter !

2) propriétés :

Propriété1 : Pour tout vecteur u et v, on a : u v. v u. Démonstration :

On suppose que u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire).

 

     

 

. cos ;

cos ; cos ;

cos ; .

u v u v u v

v u u v v u v u

v u v u v u

  

      

   

Propriété2 : Pour tous vecteurs u, v et w, on a : 1) ^{u v.}



^w



^{u v. u w. 2) u k v.}

 

^{ku v.}

Avec k un nombre réel.

- Admis -

PRODUIT SCALAIRE

Prof/ATMANI NAJIB http:// xriadiat.e-monsite.com 2 Propriété3 : Pour tous vecteurs u et v, on a :

1)

 

^{u v 2u22 .u v v 2 2)}

 

^{u v 2u22 .u v v 2}

3)

  

^{uv u v u2v2}

Démonstration : pour le 2) :

    

²

2 2

. . . .

2 .

u v u v u v u u u v v u v v u u v v

       

  

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur u, on a :

 

^{2 2}

. cos ; cos 0

u u u  u  u u  u   u Et u u. u² on a ainsi :

2 2

. u u u  u

Propriété1 : Soit u et v deux vecteurs. On a :



^{2 2 2}



. 1

u v2 u  v  u v et ^{u v. 1}₂



^{uv 2 u 2 v 2}



Démonstration : de la première formule :

 

²

2 2 2

2 2

2 . 2 .

u v u v u u v v u u v v

     

  

donc ^{u v. 1}₂



^{u 2 v 2 uv 2}



Propriété2 : Soit A, B et C trois points du plan.

On a : ^{. 1}



^{2 2 2}



AB AC 2 AB AC BC Démonstration :



^{2 2 2}



. 1

AB AC 2 AB  AC  ABAC



^{2 2 2}

 ^

^{2 2 2}

^

1 1

. 2 2

AB AC AB AC  CB  AB AC BC Exemple : ) Soit CFG un triangle tel que CF7 et

6

CG et FG3 Calculer :

CG CF .

Solution :



^{2 2 2}

 

^{2 2 2}



1 1

. 6 7 3 38

2 2

CG CF CG CF GF     III. Produit scalaire et orthogonalité

1) Vecteurs orthogonaux

Propriété : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u v. 0.

Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente.

Supposons le contraire.

. 0

u v ^{ u  v cos}

 

^{u v; 0 cos}

 

^{u v; 0}

 Les vecteurs u et v sont orthogonaux

Application : 1) Soit ABC un triangle tel que AB7 et 5

AC et BC6

a) Calculer BA AC. et en déduire AB AC.

b) Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite

 

^AB

Calculer AH

2) sachant que u 4 et v 2 et 1

. 2

u v  a)Calculer :^A



^{2u3 .v}

 

^u2v



^{et B}₂^{uv  . u}₂^v

   

 

²

C  uv et ^D



^2u3v



²

b)en déduire E uv et F  2u3v Réponse : 1) Calcule de BA AC.

On a^{BA AC.  1}₂



^{BAAC 2 BA 2 AC 2}





^{2 2 2}



. 1

BA AC  2 BC  BA  AC



^{2 2 2}

 

^{2 2 2}



1 1

6 7 5 19

2 BC AB AC 2

       

donc : BA AC.  19

donc :On aAB AC.  BA AC. 19 a) Calcule de AH

On a AB AC. AB AH donc : . 19

7 AB AC AH  AB  2) a)^A



^2u3v

 

^{. u2v}



^{2 .u u4 .u v3 .u v6 .v v}



^{2 3}

 

^{. 2}



^{2 . 4 . 3 . 6 .}

A u v u v  u u u v u v v v

2 2

2 2 2 1 2

2. . 6 2. . 6 2 4 6 2

A u u v v  u u v v     2

1 15

32 24

2 2

A   

1 1 1

. . . . .

2 2 2 4 2

u v

B  v u  u u u v u v v v

        

   

2 2

2 2

1 3 1 1 3 1 1

. 4 2

2 4 2 2 4 2 2

B  u  u v  v       

3 51

8 2

2 8

B   

 

^{2 2 2 . 2 2 2 . 2 42 2 1}₂ ²²

C u v  u u v v  u  u v v     16 1 4 21

C   



^{2 3}



^{2 4 2 12 . 9 2 4 2 12 . 9 2}

D u v  u  u v v  u  u v v

2 1 2

4 4 12 9 2 64 6 36 94

D   2      b)

 

^{u v 221} donc

2

94

uv  donc u v 21

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

^2u3v



^294 donc 2u3v² 94 donc 2u3v  94

2) Projection orthogonale

Définition : Soit une droite d et un point M du plan.

Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.

Propriété : Soit u et vdeux vecteurs non nuls du plan tels que uOA et vOB.

H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).

On a : u v. OAOB. OAOH.

Démonstration :

 

. . . . .

OA OBOA OHHB OA OHOA HBOA OH En effet, les vecteurs OA et HB sont orthogonaux donc

. 0

OA HB .

Exemple : Soit un carré ABCD de côté c.

2 2

. .

AB AC AB AB AB c

IV). APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE 1)LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE

TRIANGLE RECTANGLE

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A et [AH] la hauteur.

Théorème : Théorème de Pythagore

si ABC est rectangle en A alors BC² = AB² + AC² (i.e. le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des 2 autres côtés)

Démonstration :

 

²

2 2 2

2 2 .

BC BC  BAAC BA  BA ACAC ABC est rectangle en A donc BA AC. 0 Donc BC²  AB²AC²

AUTRE RESULTATS :

BA2 BHBC ET CA² CHBC ET AH2 HB HC ET AB AC AH BC Application : Soit ABC un triangle rectangle enA et H est le projeté orthogonal du

point A sur la droite (BC) et AH2cm et

ABC_3 Calculer ABet BH et BC Réponse :

a)On a ABH un triangle rectangle enH donc : ^sin

 

^{ABC  AH}_AB

Donc :

 

^{2 23 2 23 43 3}

sin sin

3 2

AB AH

ABC 

     

  

 

b)On aAB²  AH²HB² car ABH un triangle rectangle enH

Donc: AB²AH² HB² Donc:

2

2 2

4 3 2

3 HB

   

 

 

Donc: 16 ^{2 2}

3 2 HB Donc: ² 4 HB 3

4 2

3 3 3 HB 

c)On aBA² BHBC Donc:

BA2

BC BH

Donc:

2 2

4 4

3 3

3 3 8

2 3 2 3 3 3

3 3

BC

   

   

   

  

2) Théorème d'Al Kashi

Théorème : Dans un triangle ABC, on a avec les notations de la figure : BC² AB²AC²2AB AC cosA

Démonstration :AB AC.  AB AC cosA

et ^{. 1}



^{2 2 2}

 

^{1 2 2 2}



2 2

AB AC AB AC BC  b c a

donc :¹



^{2 2 2}



^cos

2 AB AC BC  AB AC  A soit :BC²  AB²AC²2AB AC cosA

Remarque : si ABC un triangle quelconque on a :

 

2 2 2

2 cos ;

BC  AB AC  ABAC AB AC

 

2 2 2

2 cos ;

AB BC AC  BCAC CA CB

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 

2 2 2

2 cos ;

AC  AB BC  AB BC BA BC

Application : Soit ABC un triangle tel que et AB5 et 8

AC et 2 A_ 3

Calculer BC et cosC Réponse :

a) D’après le Théorème d'Al Kashi on a :

2 2 2

2 cos

BC AB AC  AB AC A

2 2 2 2

5 8 2 5 8 cos BC _{    } 3

donc

2 25 64 40 129

BC     donc BC 129

b) D’après le Théorème d'Al Kashi on a :

2 2 2

2 cos

AB AC BC  CA CB C donc

2 2 2

2CA CB cosCAC BC AB

donc _cos ^{2 2 2}

2

AC BC AB

C CA CB

 

  donc

64 129 25 168 21 129

cosC 2 8 129 16 129  258

 

Exercice : Soit EFGun triangle tel que et EF7 et EG5 et

FEG_4 Calculer FG et cosEGF 3) Théorème de la médiane

Propriété : Soit deux points A et B et I le milieu du segment [AB].

Pour tout point M, on a :

2

2 2 2

2 2

MA MB  MI AB

Démonstration :

   

 

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 . 2 .

2 2 .

2 2 .0 1 2

MA MB MA MB MA MB

MI IA MI IB

MI MI IA IA MI MI IB IB MI MI IA IB IA IB

MI MI AB

    

   

     

    

   



2 2

2 2

1 2

2 2

AB MI AB

  

  

  

 

Exemple : Soit ABCun triangle tel que :BC5 ;

7

AC Et AB8 et K le

milieu du segment [AB].

On souhaite calculer CK. D'après le théorème de la médiane, on a :

CA²CB²2CK² AB²

2 , donc :

2 2

2 1 2 2 1 2 2 8

7 5 21

2 2 2 2

CK  CA CB AB     

   

Donc : CK 21.

4) Surface d’un triangle et formule de sinus Propriétés :

Dans un triangle ABC

On a :

1) ¹ sin ¹ sin ¹ sin

2 2 2

S ab C ac B bc A avec S Surface du triangle ABC

2)^{sinA sinB sinC 2 S}

a b c abc

    (formule de sinus) Application1: Soit EFGH un parallélogramme tel que et EF3 et EH5 et ³

FEH _ 4

Calculer la Surface du triangle EFH et la Surface du parallélogramme EFGH

Réponse : a)

1 1 3 15

sin 3 5sin sin

2 2 4 2 4

SEFH  EFEH E    ^^

15 2 15

2 2 4 2 SEFH   

b) 15 15

2 2 2 2

4 2

EFGH EFH

S  S   

Application2: Soit ABC un triangle tel que :

6

aBC et A 30 et 73

B 

Calculer

b

et

c

Réponse

D'après la formule de sinus on a : sinA sinB sinC 2 S

a b c abc

   

sin sin 30 1

6 12

A a

   donc sin 73 1

12 b

 donc 12sin 73 11.47

b   sin 77 1

12 c

  donc c12sin 77 11.69

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien