TP-PRODUIT SCALAIRE-RELATIONS METRIQUES

Tp 1^ère STLPH PRODUIT SCALAIRE MATHEMATIQUES Exercice 1 Sachant que les vecteurs ^u et ^v sont tels que ^{u 3}, ^{v 7} et _{u v}^{ }_{ 13},

calculer les produits scalaires suivants : 1. ^{ }_{u u} _{( 3 )}^_v . 2. _{(u v}^^₎². 3. ^^{2u4v } ^{. 2u4v}

   

Exercice2

Le plan est rapporté au repère orthonormal _{( ; , )O i j}^{ } . Soient les points A(1 ; 1), B(4 ; 3) et C(−1 ; 6).

1. Calculer le produit scalaire _{AB AC}^ _. ^ . 2. En déduire cos A ^ 

 

 , puis une valeur approchée de _A^ en degré à 10⁻¹ près.

3. On considère un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 6 et _BAC^ _{/ 3}. Calculer BC.

Exercice 3

ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 7 et BC = 5.

1. Calculer le cosinus de l’angle _ACB^ .

2. En déduire la valeur exacte du sinus de l’angle _ACB^ . Exercice 4

A- Soit ^{u 4} ; ^{v 7} et ( ; )u v^{ } / 6. Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants 1. u v^{ }. 2. (2u^4 ).(2^v ^u4 )^v 3. (4u^5 )^v ²

B- Soit ^{u 3} ; ^{v 4} et ( ; )^{ }u v / 4. Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants 1. u v^{ }. 2.



 







C-On considère les trois vecteurs : ^u

 





^

^

1. Calculer cos( ; )u v^{ } et en déduire une mesure de l’angle ( ; )u v^{ } . 2. Déterminer ^ytel que les vecteurs _v^ et _w^ soient orthogonaux Exercice 5

Le plan est rapporté à un repère orthonormal _{( ; , )O i j}^{ } d’unité graphique 1 cm.

Soient les points ^{A(3 ;0)}, ^B(0;3), ^{C(0 ;6 )} et ^{D(3; )y} . 1. (a) Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier.

(b) En déduire la mesure en degrés des angles du triangle OAB.

2. (a) Calculer les distances AB, BC et AC.

(b) Calculer la valeur exacte de^cos^{BCA }

 , en déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle_BCA^ . (c) En déduire la mesure de l’angle _BAC^ .

3. Déterminer par le calcul le ou les nombres y tel(s) que le triangle ACD soit rectangle en D.

Exercice 6

1.Soit ^ un cercle de centre I( 3, 1) et de rayon 5 et A le point de coordonnées (4, 3).

Vérifiez que A est un point du cercle et déterminer l'équation de la tangente à ^ passant par A.

2. ABC est un triangle tel que AB = 7, BC = 5 et CA = 8. On note H le pied de la hauteur issue de B et G le centre de gravité du triangle.

a. Calculer les angles de ce triangle.

b. Calculer le produit scalaire _{AB AC}^ _. ^ et en déduire la longueur AH.

c. Exprimer _AG^ en fonction des vecteurs _AB^ et _AC^ , en déduire la longueur AG.

Exercice n° 7

Soit ABCD un carré de côté a, I le milieu de [BC] et J celui de [DC].

On se propose d'évaluer l'angle_IAJ^ de mesure  . 1) Exprimer_{AI AJ}^_.^ en fonction de ^{cos( )} et de a.

2) a). Exprimer _AI^ et _AJ^ à l'aide des vecteurs_AB^ et _AD^ . b) Donner une autre expression de _{AI AJ}^_. ^ .

3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de ^{cos( )} et une valeur approchée à 10^-2 près par défaut, de ^ (en degrés).

Exercice 8

La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = 3 ; un triangle ABF équilatéral et un triangle BCE rectangle et isocèle en C. Le point H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

1. _{AB AH}^_ ^ ; 2. _{BC BE}^_ ^ ; 3. _{AB AF}^_ ^ ; 4. _{BD CE}^_ ^ ; 5. _{BE BA}^_^ ; 6. _{AD CE}^_ ^ . Exercice 9

Un avion décolle à 21 h 55 de l’aéroport A vers l’aéroport B. Il vole à 320 km/h.

Les durées seront calculées à 1 minute près et les distances à 1 km près, les distances sur la figure Sont exprimées en km.

1. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport B.

2. Quand l’avion arrive au dessus de D il est détourné vers l’aéroport C en raison d’un épais brouillard

A

B C

D

I

J

 a

a

a/2

a/2

A B

F

D C E

au dessus de l’aéroport B.

a. Calculer la distance de D à C.

b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C.

c. Déterminer une mesure de chacun des trois angles du triangle BCD.

3. Un autre avion décolle sans escale (vol direct) à 22 h 10 de l’aéroport A vers l’aéroport C. Il vole à la même vitesse a . Calculer la distance de A à C.

b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C Exercice 10

Dans le plan muni du repère orthonormal _{( ; , )O i j}^{ } on donne A(−1; 2) ; B (4; 7) et C (5; 0) 1. Déterminer une équation de la hauteur du triangle ABC issue de B.

2. Déterminer une équation de la droite (AC) .

3. Déterminer les coordonnées du point H, projection orthogonale de B sur la droite (AC) .

Exercice 11

On suppose que dans le plan muni du repère orthonormal _{( ; , )O i j}^{ } , on donne les points suivants : A(12; 0) ; B (0; 6) et C (−2; 0) .

(a) Déterminer une équation de la hauteur h A. (b) Déterminer une équation de la hauteur h B.

(c) Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC.

Exercice 12

ABCD est un carré direct de côté 1. On construit le triangle équilatéral direct ABE, puis le carré direct EBGF.

1. Que vaut l’angle CBE ? En déduire _{BC BE}^ _. ^ puis _{DA BE}^ _. ^ . 2. Calculer _{EA EB}^ _. ^ .

3. Démontrer que le triangle BCG est équilatéral.

120 120°

200

200 C

B

D

A

A B

E

C

G F

D

En déduire_{BC BG}^ _. ^ puis _{DA EF}^ _. ^ . 4. Calculer _{AE EF}^ _. ^

5. En utilisant la relation de Chasles, calculer _{DE EF}^ _. ^ . 6. En déduire que les points D, E, G sont alignés.

Exercice 13

Dans le repère orthonormal _{( ; , )O i j}^{ } on considère les points A( –1 ; 2), B(0 ; –3) et C(3 ; 1).

Un graphique complet, montrant l’ensemble de l’exercice sera réalisé.

1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs _AB^ , _AC^ et _BC^ . b. Calculer les longueurs AB, AC et BC.

c. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle _ACB^ .

2. Calculer _{CA CB}^_.^ puis _{CH CB}^ _.^ où H est le pied de la hauteur issue de A, dans le triangle ABC.

3. a. Citer un vecteur normal de la hauteur (AH).

b. Déterminer une équation de (AH).

4. a. Déterminer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC.

b. G est-il un point de (AH) ?

5. a. Déterminer les coordonnées du point D tel que ACDB soit un parallélogramme.

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan  ^{MC MB 1}₂^AD

.

Exercice 1

1. u u^{ } ( 3 )^v ^{ }u v. 3 .u^{ }v13 3 13 52   .

2. (u^^v)²u^2_{2 .}^{ }u v^v²    9 2 3 7 49 58 42  18. 3.

2 2 2 2

2^u 4^v . 2u^ 4^v 4^u 8 .u v^{ } 8 .^{ }u v 16 ^v 4 u^ 16 ^v 4 9 16 49 36 784 748

   

               

   

   

Exercice 2

.

AB AC^{ } : ^AB ^{3; 2} ^AC  ^2;5, donc on a : AB A^ . ^Cxx_'yy' (3) ( 2) (2) (5)       6 10 4 9 4 13

AB   etAB 4 25  29 , en appliquant la formule du produit scalaire , on obtient :

4

. . .cos ; 4 13 29 cos ; cos ;

13 29

AB AC^{ } AB AC  AB AC^{ }      AB AC^{ }   AB AC^{ }   Et  AB AC^ ; ^    78 .

Exercice 3

ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 7 et BC = 5.

AB²CA²CB² ² CA CB ^cosCA CB^{; } 36 49 25 2 7 5 cos      CA CB^; ^ 36 74 70cos  CA CB^; ^  ^{cos ; 36 74 38 19}

70 70 35 CA CB^{ } 

    

 

  et ^_^{CA CB;    }_ ⁵⁷

  .

Exercice 4

A- ^{ u v.  u  v cos}_^{u v ; }_^{  4 7 cos}





 

2 2 2 2

2^u 4v^ . 2u^ 4^v 4 ^u 8 .u v^{ } 8 .u v^{ } 16 ^v 4 u^ 16 ^v 4 16 16 49 64 784 720

                  

   

   

2 2 2

2 2

4^u 5^v 16 u^ 2 4 5 u v^{ }. 25 ^v 16 4 40 14 3 25 7 256 560 3 1225 1481 560 3

                   

 

 

B- ^{u v .  u  v cos}_^{u v ; }_^{  3 4 cos}





 

2 2 2 2

9u^ 5^v . 9u^ 5^v 81 u^ 25 ^v 81 u^ 25 ^v 81 3² 25 4² 81 9 25 16 729 400 329

                       

   

   

2 2 2

2 2

2^u 3^v 4 u^ 2 2 3 ^{ }u v. 9 ^v 4 3 12 6 2 9 4 36 72 2 144 180 72 2

                   

 

 

C-1. D’une part , ^{u v . xx'yy' 3    }

 

          

     ^. Donc ^6cos^{u v ; }^{ 3}

  ,

c’est-à-dire ^{cos ; 1} u v 2

 

  

  , d’où ^_^{ u v; }_^{2 / 3}

  .

2. si les vecteurs ^_v et _w^sont orthogonaux , alors _{u w}^{ }_{. 0} : ( 1)( 2)   3 y 0 , donc y 2 3 / 3. Exercice 5

1. a. ^{OA OB} et OA OB OA OB^{ . }   ^cosOA OB^{ ; }     ^{3 0 0 3 0}

  , donc les vecteurs_OA^ et _OB^ sont Orthogonaux et le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

b. _AOB^ _{ 90} ; _{OAB OBA}^ _ ^ _45

2. a. ^AB

 





^AC





b. D’une part , CB CA CB CA^{ . }   ^cosCB CA^{ ; }  ^{3 3 5 cos}CB CA^{ ; } ^{9 5 cos}CB CA^{ ; }  d’autre part ^CB









d’où ^{9 5 cos ; 18 cos ; 18 2 5}

9 5 5 CB CA^{ } CB CA^{ }

     

   

    et _BCA^ _27^

c. _CBA^ _180^_{  45 135} donc _BAC^ _180^_{135    27 18} 3. Le triangle ACD soit rectangle en D donc ^DC









DC DA xx^ _. ^  _'yy' ( 3) 0 (6    y y) y(6y) 0  y 0ou y6.

Or y = 0 correspond au point A, donc le point D a pour coordonnées : ^D(3;6) Correction 6

1. Avec Al-Kashi, on a immédiatement : D’après la formule d’AL-KASHI :

2 2 2 2 cos ;

AB CA CB  CA CB  CA CB^{ } 

2 2 2 cos ;

cos ;

7 8 5 2 8 5

40 1

80 cos 60

2 ;

CA CB

CA CB CA CB

 

   

 

 

 

   



  

 



   

 

     

De même on trouve

^{BC2 AB2AC2 2 AB AC cos}_^{AB AC ;  }_

 

2 2 2

8 7 5 11

cos ; 38

2.8.7 14

AB AC^{ }   A^

 

    

   et B180^38^60^ 89^.

2. 11

. . .cos ; 7 8 44

AB AC^{ } AB AC  AB AC^{ }   14 , par ailleurs

44

. . cos ; cos 0 5,5

AB AC^{ } AB AH^{ }  AB AH   AB AH^{ }  AB AH   AB AH  AH  8 

  .

3. ^{2 2 1 1 1 1}

3 3 2 2 3 3

AG^  AI^   AB^  AC^  AB^  AC^

  .On a alors :

2 2

2 2

2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 201

2 . 49 44 64

3 3 9 3 3 9 9 9 9 9

AG  AG  AB^  AC^   AB^    AB AC^{ }  AC       

 

. D’où 201

3 4,7

AG  . Exercice 8

1) Une première expression de _{AI AJ}^ _. ^ est AI AJ^ . ^ AI^ AJ^ cosAI AJ^; ^ 

    

 

En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles ABI et ADJ rectangles en B et D, on établit que :

² ² ² ² 5 ²

2 4

a a

AIAJ  AB BI  a      . Ainsi . ^{5 5} cos( ) ^{5 2}cos( )

2 2 4

a a a

AI AJ^{ }      

2) a) En utilisant la relation de Chasles, on écrit 1 1

2 2

AI^  AB BI^  ^  AB^  BC^ AB^  AD^

A B

C

I G

H

et 1 1

2 2

AJ^  AD DJ^  ^ AD^  DC^ AD^  AB^

b) En utilisant les deux expressions ci-dessus et la distributivité du produit scalaire, on établit que¨:

2 2

2

1 1 1 1 1

. . . . .

2 2 2 2 4

1 1 ² ²

2 2 2 2

AI AJ AB AD AD AB AB AD AB AB AD AD AD AB a a

AB AD a

             

 

  

       

  

   

3) En égalant les deux expressions de _{AI AJ}^ _. ^ , on obtient ^{5 2}cos( ) ² cos( ) ⁴

4 5

a  a   

En utilisant la calculatrice, on obtient une valeur approchée à 10^-2 près de ^ : ^ 36,87°.

EXERCICE 9 1. ^{v d}

 t , donc ^{400 5} 320 4 t d

 v  h , soit ^1heure15min.L’avion arrive donc en B à 21 h 55min+1h 15min = 23h 10 min .

2. a D’après la formule d’AL-KASHI : ^{DC2 BC2BD2 2 BC BD cos}_^{BC BD ;  }_

 

 

2 2 2 1

120 200 2 120 200 cos 120 54400 48000 78400

DC          2  . Donc ^DC280km.

b. ^{480 3 1,5}

320 2 t d

 v   , soit 1heure 30 minutes. L’avion arrive donc en C à 21 h 55min+1h 30min = 23h 25 min .

c. on a déjà _CBD^ _120^.

a D’après la formule d’AL-KASHI : ^{BC2 DB2DC2 2 DB DC cos}_^{DB DC ;  }_

 

D’où ¹²⁰²²⁰⁰²²⁸⁰² 2 200 280 cos  DB DC^ ; ^  ,soit 14400 40000 78400 11200cos   DB DC^ ; ^  ^{cos ; 104000 13}

112000 14 DB DC^{ }

   

 

  , donc ^_^{DB DC ;   }_ ^21,8

  .

La somme des angles d’un triangle faisant 180^, on en déduit _BCD^ _180^_120^_21,8^ _38,2^ 3. ^{AC2 BA2BC2 2 BA BC cos}_^{BA BC;  }_

 . Soit AC² ⁴⁰⁰²¹²⁰² 2 400 120 cos 120 





AC² 160000 14400 48000 222400   , donc AC 222400 472 km. ^{472 1,475}

320 t d

 v  , soit L’avion arrive donc en C à 21 h 55min+1h 28min = 23h 23 min . Exercice 10

1. ^{u x y}









_{BM AC}^ _. ^ _{ 0 (x  4) 6 (y7)( 2) 0  6x24 2 y14 0 6x2y10 0} . Soit ^{3x y  5 0}. ^{u x y}









2. _{M x y( ; ) ( AC) AM et AC}^{ } sont colinéaires donc leurs coordonnées sont proportionnelles ,

or _{AM x}^ _{( 1;y2)} et _AC^ _{(6, 2)} , donc ^{(x   1) ( 2) 6(y2) 0    2x 2 6y12 0   2x 6y10 0} Soit ^{x3y 5 0}.

3. ^{( ; ) ( ) 3 5}

3 5

B

H x y h AC x y

x y

  

      , donc on a : ^y1 et ^x². Et ^H(2;1) 4. H est milieu de ^[BD] signifie que

2

B D

H

x x

x   et

2

B D

H

y y

y   , donc xD²xH xB et yD²yH yB. xD²xHxB    ^{2 2 4 0} et yD²yH yB     ^{2 1 7 5} d’où ^{D(0 ; 5)}

5. _AH^ _(3,1) , donc AH  3² 1²  10 de même _CH^ _{( 3; 1) } et CH ( 3)² ( 1)²    9 1  10 On en déduit que H est milieu de [ AC ] et donc de [ AC] et [BD] ont même milieu .

Par conséquent ABCD est un parallélogramme . Exercice 12

2. L’angle_ABC^ est droit et l’angle _ABE^ _{ 60} donc l’angle _EBC^ _{ 30} . On en déduit que BC BE BC BE^{ . }   ^cos^EBC ^{cos 30}

 

 

Comme _DA^ _{ AD}^ _{ BC}^ , donc DA BE^ . ^  BC BE^ . ^   3 / 2 3. EA EB EA EB^ _. ^  _. _cos(AEB^ _{) cos 60}  _{1/ 2}

4. On sait que BC BG 1(propriétés des carrés et des triangles équilatéraux). D’autre part,

CBG EBG EBC^  ^  ^   _{90 30 60} . Le triangle BCG, isocèle avec un angle de 60°, est équilatéral.

Par suite, BC BG BC BG^ _. ^  _. _cos(CGB^ _{) cos 60}  _{1/ 2}

Comme _DA^ _{ AD}^ _{ BC}^ et _EF^ _BG^ , donc _{DA EF}^ _. ^ _{ BC BG}^ _. ^ _{ 1/ 2}. 5. Calculons maintenant

2

. . . 1 .

AE AF^{ }  AE AE AF^  ^  ^ AE^ AE EF^{ }  AE EF^{ }

  .

D’autre part, AE EF^ . ^  EA EF^ . ^  EA EF cosFEA^ 

 et comme on peut écrire FEA FEB BEA^  ^  ^ ₁₅₀ Finalement 3

. cos(150 )

AE EF^{ }  EA EF    2 . 3

. 1

AE AF^{ }   2 6. Calculons maintenant _{DE BF}^ _. ^ avec la relation de Chasles :

DE BF^ . ^ DA AF^  ^   . BE EF^ . ^ DA BE DA EF AE BE AE EF^ . ^  ^ . ^  ^ . ^  ^ . ^

    .

Il se trouve que tous ces produits ont déjà été calculés, à l’exception de _{AE BE}^ _. ^ , mais on sait que

1

. . .

AE BE^{ }   EA^   EB^ EA EB^{ }  2

    . Finalement 3 1 1 3

. 0

2 2 2 2

DE BF^{ }     

7. On vient de prouver que (DE) est perpendiculaire à (BF). Il est bien connu que (EG) et (BF) sont perpendiculaires (diagonales d’un carré). Les droites (DE) et (EG) sont donc parallèles, et comme elles ont E en commun, les points D, E et G sont alignés.

Correction13

1. a. ^AB  ^¹₅^, ^AC  ^⁴₁^, ^BC   ^{ 3}₄

 .

b.AB 1 25  26, AC 16 1  17, BC 9 16  25 5 .

c. Avec AL-Kashi, on a

cos ^{2 2 2 26 17 25 16}

2 . 10 17 10 17

AB AC BC

ACB AB AC

    

  



d’où _ACB^ _67.

2. ^{. 4 . 3 12 4 8 .}

1 4

CA CB^{ }         CH CB^{ }

puisque H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

3. a. (AH) est orthogonale à (BC), donc _BC^ est un vecteur normal de la hauteur (AH).

b. ^{. 0 1 . 3 0 3 4 5 0}

2 4

AM BC x x y

y

      

            .

4. a. On cherche les coordonnées de I, milieu de [BC] : I(3/2, −1) et on a 2 / 3 1 3/ 2 1

2 2

2 1 2 0

3 3

G G

G G

x AG AI x

y y

            .

b. Remplaçons x et y par les coordonnées de G dans l’équation de (AH) : 3(2/ 3) 4(0) 5 0   donc non.

5. a. Il faut que ⁴₁ ^D ₃ ^{D 4}₄

D D

x AC BD x

y y

            .

b. ^{MC MB   1}₂^AD : posons ^{M x y( , )} et remplaçons en élevant au carré :

^{MC MB 2 1}₄^{AD2  }₁³^_y^{x }  ^  ₃^x_y^ ^{2 1}₄





 

, soit en divisant par 2 dans les parenthèses : ^{3 2}





2 16

x y

     

 

  , ce qui correspond à un cercle

de centre I et de rayon ⁶¹ 4 .

H

D B

C A

y

j

i x

O