DS 2 Fonctions - Produit scalaire-Relations métriques

Classes de premières S1-S2 Année scolaire 2009-2010

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L’élève doit rendre un devoir propre, clair et lisible.

La présentation est importante.

Exercice 1

ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 7 et BC = 5.

1) Calculer le cosinus de l’angle ACB .

2) En déduire la valeur exacte du sinus de l’angle ACB . 3) On note I le milieu de [AB]. Calculer la longueur CI.

4) On note J le projeté orthogonal du sommet B sur le côté [AC]. Calculer la longueur BJ.

Exercice 2

Dans un repère orthonormal ( , , )O i j , on donne les points : A (4 ; – 4), B (10 ; 8) et C (– 8 ; 8)

La figure sera complétée au fur et à mesure des questions (unité graphique : 1 cm) la droite d’Euler

1) a) Exprimer G centre de gravité du triangle ABC comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients que l’on précisera.

b) En déduire que les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont (2 ; 4).

2) a) Vérifier que le point de coordonnées (1 ; 5) appartient à la médiatrice (∆1) de [BC] et à la médiatrice (∆2) de [AB].

b) En déduire les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.

3) a) Montrer que l’équation de la hauteur (D₁) issue de A est x = 4.

b) Déterminer l’équation de la hauteur (D₂) issue de C.

c) En déduire que les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC sont (4 ; 2).

4) Démontrer que les points I, H et G sont alignés.

La droite passant par ces trois points est appelée droite d’Euler du triangle ABC.

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 1°S

Le 6 mars 2010 Durée 3 heures

A.TAYE et E.CLEMENT 56 tirages

Classes de premières S1-S2 Année scolaire 2009-2010

http://www.taye.fr Exercice 3 :

I - Etude d’une fonction auxiliaire

Soit P la fonction polynôme définie sur [0 ; 6] par P(x) = -x³ + 9x² -23x + 15 1)a) Montrer que 1 est racine de P.

b) Déterminer trois réels a, b et c tels que P(x) s’écrit sous la forme P(x) = (x-1) (ax²+bx+c) c) Montrer alors que les trois racines de P sont 1 ; 3 et 5. En déduire une factorisation de P(x) 2) Etudier le signe de P(x).

3) On donne ci-contre la courbe représentative de la fonction P, expliquer brièvement comment on peut retrouver les résultats de la question I -2).

II - Etude de la fonction f

Soit f la fonction polynôme définie sur [0 ; 6] par f(x) = -x⁴

4 + 3x³ - 23x² 2 + 15x 1) Variations de f.

a) Montrer que

f x '( ) = P x ( )

b) En déduire en utilisant la partie I, les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

c) Préciser les abscisses des points pour lesquels Cf possède des tangentes horizontales.

d) Donner les extremums locaux et les valeurs maximales et minimales de f 2) Tangente au point de Cf d’abscisse 0.

a) Donner une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 0.

b) Soit

g x ( ) = f x ( ) 15 − x

^{g x ( ) = x} ₄

( ^{− + x}

^{12 x − 46} )

c) En déduire la position de Cf par rapport à sa tangente T au point d’abscisse 0.

3) Représentation graphique de f.

Tracer Cf,T et les tangentes horizontales à Cf.

(Utiliser la calculatrice pour avoir un maximum de précision) III - Interprétation

La fonction f représente en fait le bénéfice réalisé par une entreprise pendant les 7 premiers mois de l’année. f(x) représente ce bénéfice exprimé en milliers d’euros et x le mois de l’année correspondant, sachant que x=0 correspond au 1^er janvier, x=1 au 1^er février …

1) Donner les périodes les plus rentables pour l’entreprise.

2) Lire graphiquement la période pour laquelle l’entreprise réalise des bénéfices supérieurs à 3 milliers d’euros.

2 4 6

-15 -10 -5 5 10 15

Courbe de la fonction P