LES APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIREI Relations métriques dans un triangle quelconque

(1)

Chapitre 9 1^ière S

LES APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

I Relations métriques dans un triangle quelconque

Dans cette partie du chapitre nous adopterons la notation suivante : Soit ABC un triangle quelconque.

On a BC = a , AC = b , AB = c , S l’aire du triangle et = , = , = 1) Formule d’Al-Kashi ( XIV^ième )

Démonstration : Soit ABC un triangle quelconque représenté ci-contre, Démontrer que a ² = b ² + c ² – 2 b c cos

Formule d’Al-Kashi : a ² = b ² + c ² – 2 b c cos Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé Remarque :

 De la même façon, on montre que : b ² = a ² + c² – 2 a c cos et c ² = a ² + b ² – 2 a b cos

 Si le triangle est rectangle en A , alors = , cos = 0 et … a ² = b² + c² ( On retrouve le théorème de Pythagore )

Pour les théorèmes suivants on considère le triangle quelconque ABC ci-dessous :

2) Le Théorème de la médiane : ABC est un triangle quelconque et I est le milieu de [AB]

on a alors : AB² + AC² = 2 AI ² + 3) Aire d’un triangle: S = a c sin

4) Formule des sinus : = =

Démontrer la formule de l’aire du triangle et en déduire la formule des sinus :

Exercices :2,4,8,11p372 II

Droite et produit scalaire 1) Rappel équation de droite

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H

I C

A

a b c

B

A

B

C H I

(2)

L’équation d’une droite dans un repère quelconque est de la forme (d) : ax + by + c = 0 Quel est son cœfficient directeur ?

Si une droite a pour équation : ax + by + c = 0 alors elle a pour vecteur directeur (-b ;a) 2) Vecteur normal à une droite

Définition : Un vecteur normal a une droite (souvent noté : ) est un vecteur non nul orthogonal au vecteur directeur de la droite

Application : Soit (d) : ax + by + c = 0 tel que (a ;b) ≠ (0 ;0), déterminer les coordonnées du vecteur normal à la droite d

Théorème : Dans un repère orthonormé :

Soit (d) : ax + by + c = 0 tel que (a ;b) ≠ (0 ;0) alors le vecteur normal à (d) est (a ;b).

Réciproquement

Soit (a ;b) un vecteur normal à (d) tel que (a ;b) ≠ (0 ;0) alors (d) est de la forme ax + by + c = 0

En utilisant le vecteur normal comment peut-on définir l’ensemble des points M Î (AB) ?

Théorème : Soit (d) une droite et A Î (d). La droite (d) est l’ensemble des point M tel que : ………….

3) Droites perpendiculaires

Théorème : Dans un repère orthonormé , deux droites (d) : ax + by + c = 0 et (d’) : a’x + b’y + c = 0 sont perpendiculaires si et seulement si aa’ + bb’ = 0

Application : Soit (d) : y =mx +p et (d’) : y = m’x + p’ quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que d ^ d’

Exercices :13 ;16 ;18 ;21 ;23 p373 et 374 III

Cercle et produit scalaire

1) caractérisation du cercle de diamètre [AB]

B

A M

(3)

Théorème : Soit A et B deux points distincts du plan.

Le cercle C de diamètre [ AB ] est l’ensemble des points M du plan tels que . = 0 .

Le cercle C , privé des points A et B, est l’ensemble des points M du plan tels que le triangle MAB est rectangle en M , c'est à dire l’ensemble des points M tels que . = 0.

D’autre part, si M = A ou M = B , alors = ou = et on a encore . = 0

Application: On se place dans un repère orthonormé. Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB ] tel que A (-1;3) et B(2;2) .

2) Equation d’un cercle dans un repère orthonormé

Soit M un point du plan et C un cercle de centre A et de rayon r . Dire que M Î C Û AM = r.

Comme AM et r sont des distances alors on peut écrire AM = r Û AM ² = r ² On en déduit M Î C Û AM ² = r ²

Théorème : Le cercle C de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que ² = r ² Conséquences :

On se place dans un repère orthonormé (O; , ) .Soit le point A (x 0;y 0) , r un réel positif et C le cercle de centre A et de rayon r .En utilisant le théorème précédent déterminer l’équation du cercle C.

Théorème : Le cercle C de centre A(x 0;y 0) et de rayon r est l’ensemble des point M(x ;y) tels que : (x – x 0)² + (y – y 0)² = r ²

Application : Déterminer l’équation du cercle C de centre (2 ;-3) et de rayon r = 5

Exercices :28 ; 29 ; 30 ; 33 ; 36 ;p 374 et 375 IV

Trigonométrie 1) Formules d’addition

B O

A M

C

(4)

Théorème : Pour tout réel a et b on peut écrire :

cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b sin ( a – b ) = sin a cos b – sin b cos a sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a

Démontrer que cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b On considère le cercle trigonométrique C de centre O.

On note A et B des points de C , définis par ( , ) = a et ( , ) = b

……

Démontrer que cos ( a + b ) = cos a cos b - sin a sin b

Pour démonter que sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a, il suffit d’écrire sin (a + b) = cos ( – (a + b)) = cos (( – a) – b) = … De même pour démontrer que sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a, il suffit d’écrire sin (a – b) = sin (a + ( – b)) = …

Application : En remarquant que = – , calculer les valeurs exactes de cos et sin .

cos =

sin =

2) Formules de duplication et de linéarisation En posant b = a dans les formules précédentes on trouve :

FORMULES DE DUPLICATION FORMULES DE LINEARISATION

 sin 2 a = 2 sin a cos a

 cos 2a = cos ² a – sin ² a

= 2 cos ² a – 1

= 1 – 2 sin ² a

 cos ² a =

 sin ² a =

Exercices : 38 ; 39 ; 41 ; 44 ; 45 p375 + ex 61 p 378 ,49 ; 50 ; 51 p376

+ B

a

\ d\b a3(

));j )

b O

A

\ d\b a3(

));i )