LE PRODUIT SCALAIRE : APPLICATIONS. I.

LE PRODUIT SCALAIRE : APPLICATIONS.

I. Équations cartésienne de droite.

Une équation de courbe est une relation liant x et y qui est vérifiée par les coordonnées de tous les points de la courbe et par eux seulement.

Par exemple, la courbe ci-contre (qui n est pas la courbe d une fonction a pour équation x y² 1.

Pour tous les points de cette courbe, on a x² ² 1. Et si les coordonnées d un point vérifient x y² 1, alors ce point est sur la courbe.

Exemples :

Ci-contre, la droite D 1 représente la fonction affine f définie sur par f( x) 2 x 3. Alors D 1 a pour équation y 2 x 3, que l on peut aussi écrire 2 x 1 y 3 0.

La droite D ₂ représente la fonction constante g définie sur par g( x) 1.

Alors D ₂ a pour équation y 1, que l on peut aussi écrire 0 x 1 y 1 0.

Tous les points de la droite D ₃ ont la même abscisse : 2. Ainsi, D ₃ a pour équation x 2, que l on peut écrire 1x 0 y 2 0.

Théorème :

Dans un repère orthonormal, toute droite a une équation de la forme ax b y c 0 et l ensemble des points M(x y ) tels que ax b y c 0 est une droite.

On dit que ax by c 0 est une équation cartésienne de la droite.

"cartésienne" vient du mathématicien Descartes.

II. Produit scalaire et droites.

Définition : Un vecteur est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe deux points distincts A et B de d tels que AB u .

Définition : Soit D une droite de vecteur directeur u . Un vecteur normal à cette droite est un vecteur non nul n orthogonal à u .

D

n ₂ n ₃ n ₁

u ₁ u ₂

u ₁ et u ₂ sont des vecteurs directeurs de D.

n ₁ , n ₂ et n ₃ sont des vecteurs normaux à D.

Ainsi un vecteur normal à D est orthogonal à tout vecteur directeur de D.

Théorème (admis) : Dans un repère orthonormal, si une droite d a pour équation ax by c 0 avec (a b )  (0 0), alors le vecteur n  

  a

b est normal à d et le vecteur u  

  b

a est un vecteur directeur de d.

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L application suivante est très importante. Lisez attentivement la correction en essayant de comprendre toutes les méthodes présentées.

Application :

Dans un repère orthonormal, D est la droite d équation 2x 4 y 7 0, est la droite d équation 3x 2 y 1 0 et A est le point de coordonnées (3 2).

1. Donner un vecteur directeur et un vecteur normal pour chacune des deux droites.

2. A est-il un point de D ?

3. Les droites D et sont-elles perpendiculaires ? 4. Les droites D et sont-elles parallèles ?

5. Déterminer les coordonnées du point d intersection I de D et .

6. Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à D et passant par A . 7. Déterminer une équation de la droite parallèle à D et passant par A . Correction de l application :

Pour chaque question, on peut utiliser deux vecteurs normaux, deux vecteurs directeurs ou un vecteur normal et un vecteur directeur. Lisez attentivement toutes les méthodes. Et faites des figures pour savoir si les vecteurs que vous utilisez doivent être orthogonaux ou colinéaires.

1. D est la droite d équation 2x 4 y 7 0 donc a 2 et b 4.

u D  

  4

2 est un vecteur directeur de D et n D  

  2

4 est un vecteur normal à D.

est la droite d équation 3x 2y 1 0 donc a 3 et b 2.

u  

  2

3 est un vecteur directeur de et n  

  3

2 est un vecteur normal à .

2. On remplace x et y par les coordonnées de A dans l équation de D : 2 3 4 2 7 21  0 donc A n est pas un point de D.

3. On cherche si D et sont perpendiculaires.

Méthode 1 : avec deux vecteurs normaux.

D et sont perpendiculaires ssi n D et n sont orthogonaux.

On calcule donc le produit scalaire de n D et n : n _D  

  2

4 et n  

  3

2 donc n _D .n 2 3 4 ( 2) 2  0 donc les vecteurs n D et n ne sont pas orthogonaux.

Ainsi, les droites D et ne sont pas perpendiculaires.

Méthode 2 : avec deux vecteurs directeurs.

D et sont perpendiculaires ssi u D et u sont orthogonaux.

On calcule donc le produit scalaire de u _D et u : u _D  

  4

2 et u  

  2

3 donc u _D .u ( 4) 2 2 3 2  0 donc les vecteurs u D et u ne sont pas orthogonaux.

Ainsi, les droites D et ne sont pas perpendiculaires.

Méthode 3 : avec un vecteur directeur et un vecteur normal.

D et sont perpendiculaires ssi u D et n sont colinéaires.

On calcule donc le déterminant de u D et n . u D  

  4

2 et n  

  3

2 donc det(u D ;n )  

  4 3

2 2 ( 4) ( 2) 3 2 2  0 donc les vecteurs u D et n ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les droites D et ne sont pas perpendiculaires.

4. On cherche si D et sont parallèles.

Méthode 1 : avec deux vecteurs normaux.

D et sont parallèles ssi n D et n sont colinéaires.

On calcule donc le déterminant de n D et n : n _D  

  2

4 et n  

  3

2 donc det(n _D ;n )  

  2 3 4 2

2 ( 2) 4 3 16  0 donc les vecteurs n D et n ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les droites D et ne sont pas parallèles.

Méthode 2 : avec deux vecteurs directeurs.

D et sont parallèles ssi u D et u sont colinéaires.

On calcule donc le déterminant de u D et u : u D  

  4

2 et u  

  2

3 donc det(u D ;u )  

  4 2 2 3

( 4) 3 2 2 16  0 donc les vecteurs u D et u ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les droites D et ne sont pas parallèles.

Méthode 3 : avec un vecteur directeur et un vecteur normal.

D et sont parallèles ssi u D et n sont orthogonaux.

On calcule donc le produit scalaire de u D et n . u D  

  4

2 et n  

  3

2 donc u D .n ( 4) 3 2 ( 2) 16  0 donc les vecteurs u D et n ne sont pas orthogonaux.

Ainsi, les droites D et ne sont pas parallèles.

5. D et ne sont pas parallèles donc elles sont coupent en un point I ( ^x I y _I ) . I D donc 2 x I 4 y I 7 0 et I donc 3 x I 2 y I 1 0.

Ainsi, le couple de coordonnées de I est solution du système ( S) :

 

 2x 4y 7 0

3x 2y 1 0

(S ) 

 

 2 x 4 y 7 0

6 x 4 y 2 0 (on a multiplié la deuxième équation par 2 pour avoir 4y dans les deux équations) (S ) 

 

 2 x 4 y 7 0

8 x 9 0 (on a ajouté les deux équations pour faire disparaître les y) (S ) 

 

 3x 4 y 7 0

x ⁹

8

    ²⁷ ₈ ^{4y 7 0}

x ⁹

8

    ^{y 19} ₁₆

x ⁹

8

Ainsi I

 

  9

8

19

16 .

6.

Méthode 1 : on cherche un vecteur normal à . u D  

  4

2 est un vecteur di rect eur de D et est perpendiculaire à D donc u _D  

  4

2 est un vecteur norm al à .

a donc une équation de la forme ax b y c 0 avec a 4 et b 2 et c .

Ainsi, a une équation de la forme 4 x 2 y c 0 où c . Pour trouver c, on utilise le fait que passe par A(3 2).

A(3 2) donc 4 3 2 2 c 0, c'est-à-dire c 8.

Ainsi, a pour équation 4x 2y 8 0.

Remarque : a aussi pour équation 2x y 4 0 ou 2 x y 4 0 ou y 2x 4 … Méthode 2 : on cherche un vecteur directeur de .

n D  

  2

4 est un vecteur norm al à D et est perpendiculaire à D donc n D  

  2

4 est un vect eur directeur de .

a donc une équation de la forme ax b y c 0 avec b 2 et a 4 et c . b 2 et a 4  b 2 et a 4

Ainsi, a une équation de la forme 4 x 2 y c 0 où c . Pour trouver c, on utilise le fait que passe par A(3 2).

A(3 2) donc 4 3 2 2 c 0, c'est-à-dire c 8.

Ainsi, a pour équation 4x 2y 8 0.

Avec les deux méthodes, on trouve des équations différentes mais ce sont bien deux équations de la même droite (on passe de l une à l autre en multipliant par 1).

7. Déterminer une équation de la droite parallèle à D et passant par A.

Méthode 1 : on cherche un vecteur normal à . n D  

  2

4 est un vecteur norm al à D et est parallèle à D donc n D  

  2

4 est un vecteur norm al à .

a donc une équation de la forme ax b y c 0 avec a 2 et b 4 et c .

Ainsi, a une équation de la forme 2 x 4 y c 0 où c . A(3 2) donc 2 3 4 2 c 0, c'est-à-dire c 14.

Ainsi, a pour équation 2x 4y 14 0.

Méthode 2 : on cherche un vecteur directeur de . u D  

  4

2 est un vecteur di rect eur de D et est parallèle à D donc u D  

  4

2 est un vect eur i rect eur de .

a donc une équation de la forme ax b y c 0 avec b 4 et a 2 et c . b 4 et a 2  b 4 et a 2

Ainsi, a une équation de la forme 2 x 4 y c 0 où c . A(3 2) donc 2 3 4 2 c 0, c'est-à-dire c 14.

Ainsi, a pour équation 2x 4 y 14 0.

Avec les deux méthodes, on trouve des équations différentes mais ce sont bien deux équations de la même droite (on passe de l une à l autre en multipliant par 1).

51, 52 page 286 ; 55, 53 page 287, 81, 79 pagee 289, 89 page 290, 94 page 291

III. Produit scalaire et cercle.

Dans cette partie, nous allons étudier les équations de cercle.

1. Équation de cercle en repère orthonormal.

Exemples :

Cas 1 : Le cercle C a pour centre I (3 5) et pour rayon 2.

M (x y ) C  IM 2 un point est sur le cercle si sa distance au centre est égale au rayon.

rappel : IM ( ^x M x _I ) ² ( ^y M y _I ) ²

M (x y ) C  ( x 3) ² (y 5) ² 2 M (x y ) C  ( x 3)² (y 5)² 2²

M (x y ) C  x ² 6x 9 y ² 10y 25 4 M (x y ) C  x² y ² 6x 10 y 30 0 C a pour équation x ² y² 6x 10 y 30 0.

On généralise :

Théorème 1 (admis) : .le cercle de centre I ( ^x I y _I ) et de rayon R a pour équation ( ^{x x} I )

2 ( ^{y y} I )

2 R ²

Cas 2 : le cercle a pour diamètre [AB] avec A(3 5) et B(2 8).

Méthode 1 :

Théorème 2 (admis) : le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que MA . MB 0.

En effet, un triangle inscrit dans un cercle et ayant pour côté un diamètre de ce cercle est rectangle.

M est un point du cercle ssi M A ou M B ou AMB est rectangle en M si M A ou M B , al ors MA. MB 0 car MA 0 ou MB 0 .

si AMB est rectangle en M, alors MA . MB 0 car les vecteurs sont orthogonaux.

M (x y ) C  MA . MB 0 Ici, on a MA  

  3 x

5 y et MB  

  2 x 8 y M (x y ) C  (3 x )(2 x ) (5 y)(8 y) 0

M (x y ) C  x ² y² 5 x 13 y 46 0 C a pour équation x ² y² 5x 13 y 46 0.

Méthode 2 :

On cherche le centre et le rayon du cercle et on utilise le cas 1 en haut de la page : Le centre du cercle est le milieu I de [AB]. x I

x A x B

2

3 2 2

5 2 et y I

y A y B

2

5 8 2

13 2 donc I  

  5 2

13 3 .

Le ra yon du cercl e est AI

 

  5 2 3

2

 

  13

2 5

2 5

2

Alors, d après le théorème du cas 1, C a pour équation

 

  x ⁵

2

2

 

  y ¹³

2

2

 

  5 2

2

, c'est-à-dire (en développant), x² y ² 5x 13 y 46 0.

Attention : Une équation de cercle est de la forme x² y ² ax by c 0 mais (contrairement aux droites), ce n’est pas réciproque. Voici des exemples :

Exemple : Déterminer les ensembles suivants :

E est l ensemble des points M (x y ) tels que x² y ² 2x 6y 1.

F est l ensemble des points M (x y ) tels que x² y ² 4x 6 y 13.

G est l ensemble des points M (x y ) tels que x² y ² 3x 6 y 20.

Regardez la correction pour l ensemble (E ) puis essayez de faire les autres seul.

Correction :

M (x y ) E  x² y² 2 x 6 y 1 on essaie de faire apparaître la forme ( ^{x x I} ) ^² ( ^{y y I} ) ^{² R ² pour}

pouvoir utiliser le théorème 1 en haut de la page 5.

Pour cela, on essaie de repérer le début d identités remarquables, comme pour obtenir la forme canonique.

Par exemple, x 2 x est le début de l identité remarquable (x 1)² x ² 2x 1 et y ² 6y est le début de (y 3)² y² 6y 9

M (x y ) E  x² 2 x 1 1 y² 6 y 9 9 1 M (x y ) E  (x -1)²+ ( y+3 )² 10 1

M (x y ) E  (x -1)²+( y+3 )² 9

On écrit maintenant sous la forme ( ^{x x} I ) ² ( ^{y y} I ) ² R².

M (x y ) E  (x 1)² ( y ( 3))² 3²

Ainsi, E est le cercle de centre I(1 ; 3) et de rayon 3.

M (x y ) F  x² y² 4x 6y 13

M (x y ) F  x² 4 x 4 4 y ² 6y 9 9 13 M (x y ) F  (x 2)² 4 ( y 3)² 9 1 3 M (x y ) F  (x 2)² ( y 3)² 0

Ainsi, F est le cercle de centre J( 2 ; 3) et de rayon 0 donc F est le point J( 2 3).

M (x y ) G  x² y² 3x 6y 20 M (x y ) G  x² 3 x

 

  3 2

2

 

  3 2

2

y² 6y 9 9 20 M (x y ) G 

 

  x ³

2

2

(y 3)² 35

4

La somm e des carrés de deux réels ne peut pas êt re négative donc G est l ensemble vide.

63 page 287, 65, 66 page 288, 778 page 289, 100 page292, 111 page 294.

IV. Calculs d angles et de longueurs.

Tous les résultats sont admis.

ABC est un triangle. On note AB c, AC b et BC a, A l’angle BAC , B l’angle ABC et C l’angle ACB .

1. Relations d’Al Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé) : Relations d’Al Kashi : a ² b² c ² 2b ccosA

b² a ² c² 2a ccosB c² a ² b² 2a bcosC

Exemple : EFG est tel que EF 7, FG 4 et EG 5. Donner une mesure de l angle EGF au dixième de degré près.

Correction:

On a EF ² FG ² EG² 2 FG EG cos ( EGF )

c'est-à-dire 7² 4² 5² 2 4 5 cos ( ^EGF )

49 41 40cos ( EGF )

cos ( ^EGF ) ⁸

40

1

5 .

Alors EGF 101,5°.

2. Théorème de la médiane :

Théorème (admis) : ABC est un triangle, I est le milieu de [ BC], alors AB² AC² 2AI² BC² 2 Exemple :

ABC est un triangle tel que AB 5, BC 6 et AC 10. Calculer la longueur de la médiane [BJ] issue de B.

J est le milieu de [AC].

Correction:

On a : AB ² BC ² 2 BJ² AC ² 2 5² 6² 2BJ ² 10²

2 BJ ² 11

2 et donc BJ ¹¹ 2

22

2