On considère deux équations

MPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 1 pour le vendredi 12/09/14 29 juin 2019

Problème1

L'objet de cet exercice est d'exprimer cos ^2π ₅ avec des racines carrées.

On considère deux équations

1 + z + z ² + z ³ + z ⁴ = 0 (1)

z ² + z − 1 = 0 (2)

1. Préciser l'ensemble des solutions de (1). Préciser l'ensemble des solutions de (2).

2. Montrer que u est solution de (1) si et seulement si u + ¹ _u est solution de (2).

3. Préciser sous forme trigonométrique l'ensemble des valeurs prises par u + _u ¹ lorsque u décrit l'ensemble des solutions de (1).

4. En déduire une expression de cos ^2π ₅ avec des racines carrées.

Exercices

Exercice 1

Former le tableau des signes de cos(2x) et 2 cos x − 1 pour x dans ] − π, π] . Déterminer l'ensemble des x de ] − π, π] tels que

cos x + cos(3x) > cos(2x)

Exercice 2

Soit a , b , c trois nombres complexes de module 1 et deux à deux distincts. On considère

T = b(c − a) ² a(c − b) ²

1. On pose w = ^c−a _c−b . Exprimer w en fonction de a , b , c puis exprimer T avec un module.

2. Exprimer T en utilisant des arguments α , β , γ de a , b , c .

3. Interpréter géométriquement le résultat T ∈ R + démontré de deux manières diérentes dans les questions précédentes.

Exercice 3

Soit n ∈ N ^∗ et T _n = {(i, j) ∈ N ² tq 1 ≤ i < j ≤ n} . On considère P _n = Q

(i,j)∈T

ij . On se propose de calculer ce produit de deux manières diérentes.

1. On note u _j = Q j−1

i=1 (ij) et v _j = (j!) ^j−1 pour j ≥ 2 entier.

a. Simplier _v ^v

pour j ≥ 2 .

b. Exprimer u _j à l'aide d'une factorielle et d'une puissance.

c. En déduire une expression de P _n . 2. On pose

T _n ⁰ = {(i, j) ∈ N ² tq 1 ≤ j < i ≤ n} P _n ⁰ = Y

(i,j)∈T

ij

D _n = {(i, i) ∈ N ² tq 1 ≤ i ≤ n} π _n = Y

(i,j)∈D

ij

a. Calculer

Π n = Y

(i,j)∈{1,···n}

(ij )

b. Que vaut le produit P _n π _n P _n ⁰ ? c. Montrer que P n = P _n ⁰ .

d. En déduire l'expression de P n .

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