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SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
a,b,c,a’,b’,c’ désignent des réels.
I. Système de deux équations à deux inconnues
(S) est le système
' ' '
ax by c a x b y c
+ =
⎧⎨ + =
⎩ d’inconnues x et y
Résoudre le système (S) c’est trouver tous les couples (x ;y) qui vérifient en même temps les deux équations du système.
II. Nombre de solutions et interprétation graphique : On suppose b ≠ 0 et b’ ≠ 0.
Dans un repère, soit d la droite d’équation cartésienne ax+by=c et d’ la droite d’équation a’x+b’y=c’ . On suppose b ≠ 0 et b’ ≠ 0.
d a pour équation réduite y = - a b x + c
b d’ a pour équation réduite y= - a’
b’ x + c’
b’
Pour connaître le nombre de solutions du système (S) on étudie les positions relatives de d et d’.
d //d’ ⇔ -a b = -a’
b’ ⇔ ab’ =a’b ⇔ ab’ –a’b=0
Lorsque b ou b’ = 0 , l’une au moins des droites d et d’ est parallèle à l’axe des ordonnées et il est aisé de connaître la position relative de d et d’.
2 III. Résolution du système :
Cas où le système a un couple solution unique :
Pour trouver ce couple, on résout le système par substitution ou par combinaison ( voir exercice 1 ci- dessous )
Cas où le système n’a pas un seul couple solution :
Par multiplication ( ou division) on peut toujours, dans ce cas, écrire les deux équations avec le même membre de gauche, c'est-à-dire sous la forme ax by c
ax by d + =
⎧⎨ + =
⎩
- si c≠ d : le système (S) n’a pas de couple solution ( voir exercice 2 ci-dessous) - si c=d le système ( S) a une infinité de couples solutions ( voir exercice 3 ci-dessous)
IV. Exemples :
Exercice 1 : (cas d’un couple solution unique)
3 Exercice 2 : ( cas où il n’y a aucun couple solution)
Exercice 3 : (cas où il y a une infinité de couples solutions)
