Remédiation – Système de 2 équations à 2 inconnues
A) Solution graphique
1) Solution graphique d'une équation à deux inconnues
Une équation à deux inconnues possède une infinité de solutions. Chaque solution est un couple de réels qui vérifient l'égalité. L'ensemble de ces couples solutions sont les coordonnées des points d'une droite.
Pour représenter cette droite, il suffit de trouver 2 couples solutions. On cherche souvent les points d'intersection avec les axes y et x en posant x = 0 puis y = 0.
Exemples
2x + 3y – 6 = 0 x - 2y = 0
x 0
...x 0
...4
y
...0 y
...0
...Les points d'intersection avec les axes permettent de représenter la droite.
La droite passe par le point (
...;
...), il faut donc un point supplémentaire pour représenter la droite.
Représente l'ensemble des solutions de chaque équation.
x - y – 3 = 0 2x + y = 0
x
... ...x
......
y
... ...y
... ...0 1 1
x y
0 1 1
x y
x y
x
y
2x + y – 4 = 0 x = 2y - 6
x
... ...x
......
y
... ...y
... ...x – 2y = 0 3x - 2y + 12 = 0
x
... ...x
......
y
... ...y
... ...y -3x + 2 = 0 3x – 7y = 0
x
... ...x
... ...y
... ...y
... ...2) Solution graphique d'un système de 2 équations à 2 inconnues
Pour résoudre graphiquement un système de 2 équations à 2 inconnues,
- on trace les droites d
1et d
2qui représentent les solutions de chaque équation;
- on détermine les coordonnées du point d'intersection des droites d
1et d
2. Exemple
X 0 -2 2x – y + 4 = 0
Y 4 0
X 0 7 x + y – 7 = 0
Y 7 0
Détermine graphiquement la solution des systèmes suivants.
x x
x – y + 3= 0
y 4x – 2y – 8 = 0
y
x x
x + y + 1= 0
y 2x + y = 0
y
x y
(0;7)
(-2;0)
(7;0) (0;4)
(1;6)
d
1d
20 1
1
B) Solution algébrique : méthode de substitution 1) Exercices à compléter
Complète la résolution des systèmes ci-dessous.
x – 2y = 5 2x + 3y = 3 x = 5 + 2y
2 . ( 5 + 2y ) + 3y = 3 x = 5 + 2y
y =
...x =
...y =
...Résoudre cette équation en y.
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de y
3x + y = 5
x - 2y – 4 = 0
y =
...x – 2 . (
...) – 4 = 0 y =
...x =
...y =
...x =
...Résoudre cette équation en x.
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de x
2) Exercices
Résous les systèmes suivants.
x – y = 1
2x – 3y = - 3
x =
......
...
=
......
=
......
=
......
=
...Résoudre cette équation en y.
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de y.
3x + y = 5
x - 2y – 4 = 0
y =
......
...
...
...
...
Résoudre cette équation en x.
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de x.
-3x + y – 1 = 0 x - 2y – 3 = 0
y =
......
...
...
...
...
Résoudre cette équation en x.
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de x.
3x = y
x - 2y – 4 = 0
y =
......
...
...
...
...
Résoudre cette équation en x.
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de x.
x - 2y = 1 4x - 5y = -5
x =
......
...
...
...
...
Résoudre cette équation en y
...
...
...
...
...
Ecrire la valeur de y.
C) Solution algébrique : méthode des combinaisons 1) Exercices à compléter
Complète la résolution des systèmes ci-dessous.
x – y = 3 . 2 -2x + 4y = -2 . 1
...
x –
...y =
...- 2 x + 4 y = -2
3x – 4y = 3 . 3 -2x + 3y = -1 . 4
...
x –
...y =
......
x +
...y =
......
y =
...y =
...x – y = 3 x –
...= 3 x =
......
x =
...x =
...-2x + 3y = -1
………..
+
...= -1
………
=
……..…..y =
...S = { (
...;
...) } S = { (
...;
...) }
2) Exercices
Résous les systèmes suivants -3x + y – 1 = 0 .
...x - 2y -3 = 0 .
......
=
......
=
...4x - y = 3 .
...- x + 2y = 8 .
......
=
......
=
......
=
......
=
......
=
......
...
...
...
=
......
=
......
=
......
...
...
S = { (
...;
...) } S = { (
...;
...) } x - 3y = 6 .
...3x - 2y = 4 .
......
=
......
=
...4x + 2y = 0 .
...x + y - 1 = 0 .
......
=
......
=
......
=
......
=
......
=
......
...
...
...
=
......
=
......
=
......
...
...
S = { (
...;
...) } S = { (
...;
...) }
D) Solution algébrique : méthode des combinaisons (variante) 1) Exercices à compléter
Complète la résolution des systèmes ci-dessous.
x – y = 3 . 2 -2x + 4y = -2 . 1
...
x –
...y =
...- 2 x + 4 y = -2 . 4
. 1
...
x –
...y =
...- 2 x + 4 y = -2
3x – 4y = 3 . 3 -2x + 3y = -1 . 4
...
x –
...y =
...-
...x +
...y =
.... 2 . 3
...
=
......
=
......
y =
...y =
......
x =
...x =
......
x =
...x =
......
y =
...y =
...S = { (
...;
...) } S = { (
...;
...) } 2) Exercices Résous les systèmes suivants. x –3y = 6 .
....3x - 2y = 4 .
.... ...=
... .. ...=
....
.....
.... ...=
... .. ...=
...x –2y = 1 .
....-3x + 4y = 2 .
.... ...=
... .. ...=
....
.....
.... ...=
... .. ...=
......
x =
...
x =
......
y =
...y =
......
x =
...x =
......
y =
...y =
...S = { (
...;
...) } S = { (
...;
...) } 3x – 9y = 1 .
....x - y = -2 .
.... ...=
... .. ...=
....
.....
.... ...=
... .. ...=
...2x + 3y = -9 .
....4x - 3y = 27 .
.... ...=
... .. ...=
....
.....
.... ...=
... .. ...=
......
x =
...
x =
......
y =
...y =
......
x =
...x =
......
y =
...y =
...S = { (
...;
...) } S = { (
...;
...) }
Si la valeur de la première inconnue est un nombre entier, il n'est pas nécessaire
d'utiliser la variante; dans les autres cas, cela est préférable.
E) Remarques importantes
1) Choix de la méthode algébrique
a) La méthode de substitution s'utilise généralement dans les cas simples où il est possible d'isoler une inconnue sans dénominateur.
Quels sont les systèmes pour lesquels la méthode de substitution n'est pas conseillée ? Dans les autres cas, isole l'inconnue qu'il faudra substituer.
3x – 9y = 1 x - y = -2
...
x + 8y = 5 2x - y = 4
...
2x – 3y = 2 4x - 2y = 1
...
3x – y = -5 4x + 3y = 4
...
-4x + 3y – 1 = 0 2x + y -2 = 0
...
2x = y + 5 2x + 3y = 4
...
-2x + 3y = 12 4x = 2y - 2
...
3x + 2y = 0 4x - y = 2
...
b) La méthode des combinaisons peut s'utiliser dans tous les cas. Si la valeur de la première inconnue est un nombre entier, il n'est pas nécessaire d'utiliser la variante; dans les autres cas, cela est préférable.
2) Modification initiale du système
a) Pour résoudre un système, il est préférable que chaque équation soit présentée sous la même forme. Souvent, on utilise la forme ax + by + c= 0 ou la forme ax + by = c
Pour chaque système, transforme au minimum l'énoncé pour que les équations apparaissent sous la même forme.
2x – 9y – 1 = 0 x + y = -5
...
...
x + 8y = 5 x + y – 4 = 0
...
...
x – 3y = 2 - 2y = 3x + 1
...
...
y = 3x - 5 4x + y = 4
...
...
y = 2x - 8 x - y + 5 = 0
...
...
x = - 2y - 1 y = 2x - 7
...
...
3x – y – 2 = 0 - 2y = x - 4
...
...
y - 3x = 5 y = x
...
...
b) Pour utiliser la méthode de substitution ou celle des combinaisons, il faut des équations sans dénominateur.
Fais disparaître les dénominateurs puis transforme au minimum chaque équation pour les faire apparaître sous la même forme.
Système initial
3 8 3 y 2
x
3 − = − 6 5 2 y 3
x 2 + =
−
Système modifié
...
...
1
eéquation : modification
...
...
...
...
2
eéquation : modification
...
...
...
...
Système initial
2 3 y 3
1 x − = −
5 3 y 2 x + =
Système modifié
...
...
1
eéquation : modification
...
...
...
...
...
2
eéquation : modification
...
...
...
...
...
Système initial 4 1
1 y 2
x − − = 3 0
1 y 6
x + − =
Système modifié
...
...
1
eéquation : modification
...
...
...
...
...
2
eéquation : modification
...
...
...
...
...
