ÉCS2
IV-Algèbre bilinéaire.
Cours 1 Produit scalaire
1.1 Produit scalaire et norme associée
Définitions.
Exemples : (à connaître) produit scalaire canonique deRn, produit scalaire surC([a, b],R).
Propriétés : bilinéarité & distributivité, identité remarquable, formule polaire.
1.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire
Inégalité de Cauchy-Schwarz (avec cas d’égalité). Preuve.
Inégalité Triangulaire. Preuve.
Exemple : moyenne des carrés >carré de la moyenne.
Remarque : positivité de la variance
1.3 Orthogonalité
Définitions : vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogonaux, familles orthogonales, familles orthonormales ou orthonormées.
Notation : symbole de Kronecker
Propriété : liberté des familles orthogonales sans vecteur nul, liberté des familles ortho- normales.
Technique : normalisation d’un vecteur, orthonormalisation d’une famille orthogonale.
1.4 Théorème de Pythagore
Théorème :
• u⊥v⇔ ||u+v||2=||u||2+||v||2;
• (ui)orthogonale⇒ ||P
iui||2=P
i||ui||2.
2 Espaces euclidiens
2.1 Définitions
Définitions : espace euclidien, base orthonormée.
Exemple : Rn.
2.2 Existence de bases orthonormées
Procédé d’orthonormalisation de Schmidt.
Propriété : existence de b.o.n.
2.3 Intérêt d’une b.o.n.
Propriété :x=P
ihx, eiiei,||x||2=P
ihx, eii2. Écriture matricielle :hx, yi= tXY,||x||2= tXX.
2.4 Changement de bases orthonormées
Propriété : la matrice de passage est orthogonale, i.e.P−1= tP.
2.5 Supplémentaire orthogonal
Définition :F⊥={u,∀v∈F, u⊥v}
Propriété :F⊕F⊥= E; F⊥⊥
= F.
Complétion d’une famille orthonormée en base orthonormée.
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