PRODUIT SCALAIRE

PRODUIT SCALAIRE

 Travail d’une force en physique

I. Produit scalaire dans le plan 1) Définition

Soit ^{u } et ^{v } deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls) tels que u OA    et v OB    . On appelle H le projeté orthogonal de B sur (OA).

Alors u v     OA OH    =

O A

B

H

B

H

u v     OA OH  ^{u v}      ^{OA OH} 

Remarques

 Lorsque l’un des vecteurs est nul, par exemple ^{v } , on a OB = 0 et le produit scalaire est nul.

 Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, qui peut être positif, négatif ou nul.

Carré scalaire d’un vecteur

C’est par définition le produit scalaire d’un vecteur ^{u } par lui-même. Il se note ^{u }

D’après la définition, ^{u }

^{ u   u   u }

, où ^{u } désigne la norme, ou la longueur du vecteur ^{u } .

En particulier,  AB

 AB AB     AB AB   AB

.

2) Vecteurs orthogonaux

Dire que deux vecteurs ^{u } et ^{v } sont orthogonaux signifie : soit que l’un des deux est le vecteur nul

soit que (OA) est perpendiculaire à (OB) avec u OA    et v OB    . Lien avec le produit scalaire

Deux vecteurs ^{u } et ^{v } sont orthogonaux si et seulement si ^{u v     0} Démonstration

Supposons d’abord que ^{u } et ^{v } soient orthogonaux. Si l’un au moins d’entre eux est nul, leur produit scalaire est nul.

Sinon, en posant u OA    et v OB    , on sait que (OA) est perpendiculaire à (OB). Le projeté orthogonal H de B sur (OA) est donc le point O lui-même.

On a donc :

0 u v OA OH      

Réciproquement supposons que ^{u v     0} .

Si l’un des vecteur est le vecteur nul, ils sont bien orthogonaux. Si les deux sont non nuls, on pose u OA   

et v OB    . Alors

u v     OA OH  = 0

Mais OA ¹ 0 impose que OH = 0, donc que H = O.

Comme (HB) est perpendiculaire par construction à (OA), on a bien (OA) ^ (OB) et les vecteurs ^{u } et ^{v } sont bien orthogonaux.

3) Configurations fondamentales

II. Autres expressions et propriétés du produit scalaire

1) Produit scalaire et cosinus

Pour tous vecteurs non nuls ^{u } et ^{v } , ^{u v   .  u v   cos ,}  ^{u v  }  Démonstration

La relation est évidente lorsque les vecteurs sont colinéaires, soit qu’ils aient même sens avec ^{cos ,}  ^{u v  }  ^{ 1} , soit qu’ils aient des sens contraires avec ^{cos ,}  ^{u v  }  ^{  1} .

Si les vecteurs ^{u } et ^{v } ne sont pas colinéaires, on pose comme d’habitude u OA    et v OB    . L’angle ^ AOB

est noté . Examinons les deux cas.

Lorsque  est aigu, on a :

cos OA OB OA OH       OA OB  

2

O A

B

H

Lorsque  est obtus, on a :

 

cos cos OA OB OA OH

OA OB OA OB

 



  

   

 

 

Pour conclure, il suffit de remarquer que ^{cos   cos  AOB  cos}  ^{OA OB   ,}  ^{ cos ,  u v    .}

2) Quelques propriétés du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs ^{u } et ^{v } , on a ^{u v     .  v u .} . Cela résulte immédiatement du fait que ^{cos ,}  ^{u v  }  ^{ cos ,}  ^{v u  }  .

 Résultats algébriques

Soit ^{u } , ^{v } et ^{w } des vecteurs et a un nombre réel.

Alors :

 

. . .

u v w      u v u w     

 

. ( . )

u   v    u v  

On peut en déduire particulièrement des règles de calculs « usuelles », en particulier les produits scalaires remarquables suivants :

 

 

   

2 2 2

2 2 2

2 2

2 . 2 . u v u u v v u v u u v v u v u v u v

   

   

   

     

     

     

2) Expression du produit scalaire en repère orthonormal Soient deux vecteurs ^{u  }   ^x _y

 

 et ^{v  }   ^x _y ^' _'

 

 dans un repère orthonormal  ^{O i j ; ,  }  .

Alors ^{u v     xx '  yy '} = [|| ^{u } + ^{v } ||

- || ^{u } ||

- || ^{v } ||

].

Démonstration

   ^{' '} 

^{' ' '}

^{' '}

u v     xi   yj x i    y j   xxi   xy i j     yx j i     yy j   xx  yy .

Autre démonstration

Dans le cas où on ne dispose pas de propriétés usuelles du produit scalaire…

On admet qu’étant donnée la définition le produit scalaire de deux vecteurs ne dépend pas du repère orthonormé que l’on chosit.

Si

u   0 

v   0 

Supposons donc

u 

v 

u OA   

v OB   

On utilise le repère orthonormal

 ^{O i j ; ,  } 

^{i }

^{OA }

  ^{i j   ,  } ₂

Le point A a pour coordonnée

x OA   u 

y  0

Le point B a pour coordonnées

^{x '  OB cos ,}   ^{i v    v  cos ,}   ^{i v  }

^{y '  v  sin ,}   ^{i v  }

D’autre part,

  ^{i v   ,   u v   , }

^{u v     u v   cos ,  u v   }

D’autre part,

^{xx '  yy '  u   v  cos ,}  ^{u v  }  ^{  0 v  sin ,}  ^{u v  } 

^{u v   cos ,}  ^{u v  } 

3

O A

B

H