Vers les équations « produit nul »

Vers les équations « produit nul »

On propose ci-dessous un QCM. Pour chaque question posée, entourer la ou les bonne(s) réponse(s).

Une fois ce travail effectué, envisager un commentaire.

Réponse A Réponse B Réponse C 1. L’égalité 3 x = 0 est vérifiée pour : x = 0 x = − 3 x = − 1 2. L’égalité 3 + = x 0 est vérifiée pour : x = 0 x = 3 x = − 3 3. L’égalité 3 x = 5 est vérifiée pour : x = − 5 3 3

x = 5 5

x = 3 4. L’équation 2

3

x = est vérifiée pour : x = + 2 3 2

x = 3 x =  2 3 5. L’équation ^{x +} ( ^{x − 2} ) ^{= 0} est vérifiée pour : x = 0 x = 2 x = 1 6. L’équation ^{x } ( ^{x − 2} ) ^{= 0} est vérifiée pour : x = 0 x = 2 x = 1 7. L’équation ( ^{x − 2} ) ( ^{+ x + = 1} ) ⁰ est vérifiée

pour :

1

x = 2 x = 2 x = − 1 8. L’équation ( ^{x − 2} ) ( ^{ x + = 1} ) ⁰ est vérifiée

pour :

1

x = 2 x = 2 x = − 1 Reconnaitre des équations « produit nul »

1. Résoudre l’équation ( ^{x + 7} ) ( ^{+ x − 4} ) ^{= 0 .}

Résoudre l’équation ( ^x + ⁷ ) (  ^x − ⁴ ) = ⁰ . 2. Résoudre l’équation ( ^{2 x} − + ³ ) ( ^{3 x} + ⁴ ) = ⁰ .

Résoudre l’équation ( ^{2 x −  3} ) ( ^{3 x + 4} ) ^{= 0} .

3. Envisager un commentaire sur les quatre équations proposées.

Résoudre des équations « produit nul », sans oublier les autres…

Résoudre, lorsque cela est possible les équations proposées ci-dessous :

( ^{x − 5} )( ^{x + 2} ) ^{= 0} ( ^{4 − x} )( ^{x − 7} ) ^{= 0 x x} ( ^{+ 6} ) ^{= 0} ( ^{2 x − 7 3} )( ^{x + 9} ) ^{= 0} ( ^{3 x − 1 2} )( ^{x + 3} ) ^{= 0 7 x} ( ^{4 x − = 1} ) ⁰ ( − ^{2 x} + ^{3 6} )( − ^x ) = ⁰ ( ^{4 x} + − ¹ ) ( ^x − ⁴ ) = ⁰ ( − ^{2 x} + ⁴ ) ( + ^x − ⁸ ) = ⁰

( ^{2 x 3} ) ( ^{x 6} ) ⁰

− − + + − = ( ^x − ¹ )( ^x + ² ) = ⁰ ( ^{5 x} + ^{6 7 8} )( − ^x ) = ⁰

Les techniques de factorisation

Application d’une identité remarquable

( )

2 2

2

a + ab b + = a b +

( )

2 2

2

a − ab b + = a b −

( )( )

2 2

a − b = a + b a b −

Reconnaissance d’un facteur commun Factorisation par identité remarquable

Recopier et compléter les égalités suivantes :

( )

2

2 ... ... 16 ... ...

x +   + = + ⁸¹ x

+   + 2 ... ... 36 = ( ... ... + )

³⁶ x

−   + 2 ... ... 49 = ( ... ... − )

( )( )

64 x

− = 1 ... ... ... ... + − ⁹ x

+   + = 2 ... ... ... ( ... 4 + )

⁴⁹ x

−   + = 2 ... ... ... ( ... 9 − )

( )( )

... 64 − = ... ... 3 + x − ... ^x

^{− = ...} ( ^{... + 7 ... ...} )( ⁻ ) ^{... 6 + x + = ...} ( ^{x + ...} )

( )

4 x

− + ... 25 = ... ... − ^{... 64 − =} ( ^{7 x − ... 7} )( ^{x + ...} ) ^{9 x}

^{+ + = ... ...} ( ^{... 1 +} )

( )

... ... 16 − + = 6 x − ... ⁸¹ x

− = ^... ( ... 1 ... 1 − )( + ) ^{... − = 4} ( ^{3 x − ... 3} )( ^{x + ...} )

Factorisation par reconnaissance d’un facteur commun 1. Factoriser l’expression x

− 6 x + 9 .

En déduire la factorisation de l’expression ^{A = x}

^{− 6 x + + 9} ( ^{x − 3 2} )( ^{x − 3} ) . 2. Factoriser l’expression 4 x

+ 20 x + 25 .

En déduire la factorisation de l’expression ^{B = 4 x}

^{+ 20 x + 25 +} ( ^{x − 7} )( ^{2 x + 5} ) ^.

3. Factoriser l’expression 4 x

− 49 .

En déduire la factorisation de l’expression ^{C = 4 x}

^{− 49 − 2 2} ( ^{x − 7} ) ^.

4. Factoriser l’expression 9 x

− 16 .

En déduire la factorisation de l’expression ^D = ^{9 x}

− ¹⁶ + ^x ( ^{3 x} − ⁴ ) .

5. On considère l’expression : ^E = ( ^{2 x} + ⁵ ) (

+ ^{2 x} + ⁵ )( ^x − ⁸ ) . Factoriser l’expression.

6. On considère l’expression : ^{F =} ( ^{2 x − 3} ) (

^{+ x − 3 2} )( ^{x − 3} ) . Factoriser l’expression.

7. On considère l’expression : ^{G =} ( ^{x − 2 3} )( ^{x − + 5} ) ^{9 x}

^{− 25} . Factoriser l’expression.

( )

SOMME PRODUIT

La factorisation au service de la résolution d’équations Partie 1

On considère l’expression algébrique ^{A x} ( ) ( ^{= 2 x + 5 2} )( ^{x − + 3} ) ( ^{2 x + 5 5} )( ^{x − 7} ) ^.

1. Factoriser cette expression.

2. Résoudre l’équation ^{A x} ( ) ^{= 0 .}

Partie 2

On considère l’expression algébrique ^{B x} ( ) ( ^{= 2 x − 3 1 4} )( ^{− x} ) ^{+ 4 x}

^{− 9} . 1. Factoriser cette expression.

2. Résoudre l’équation ^{B x} ( ) ^{= 0 .}

Partie 3

On considère l’expression algébrique ^{C x} ( ) ( ^{= 2 x + 5} ) (

^{+ 2 x + 5} )( ^{x − 8} ) . 1. Factoriser cette expression.

2. Résoudre l’équation ^{C x} ( ) ^{= 0 .}

Attention à la gestion de la soustraction…

Partie 4

On considère l’expression algébrique ^{D x} ( ) ( ^{= 3 x + 1 5} )( ^{x − 4} ) ( ^{− 5 x − 4} )

. 1. Factoriser cette expression.

2. Résoudre l’équation ^{D x} ( ) ^{= 0 .}

Partie 5

On considère l’expression algébrique ^{E x} ( ) ( ^{= 4 x − 3} ) (

^{− x − 4 4} )( ^{x − 3} ) . 1. Factoriser cette expression.

2. Résoudre l’équation ^{E x} ( ) ^{= 0 .}

Partie 6

On considère l’expression algébrique ^{F x} ( ) ( ^{= x − 2} ) (

^{− 3 x + 1} )

. 1. Factoriser cette expression.

2. Résoudre l’équation ^{F x} ( ) ^{= 0} .

Un questionnaire à choix multiples, pour résumer

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des six questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

A B C

Une solution de l’équation

( )

2 x − + 8 3 x = 2 est : ^{10 − 10 2}

Les solutions de l’équation

( )

1 2 0

x 2 x

 −  + =

 

  sont : ^{− 2} et 1

− 2 − 2 et 1 2

1

− 2 et 2 Les solutions de l’inéquation

2 x +  1 4 x − 2 sont :

1

x  − 2 3

x  2 3

x  − 2 Les solutions de l’inéquation

3 4 x x 1

− −  − −

2

x  − 3 2

x  − 3 4

x  6 Le développement de l’expression

( ¹ )( ³ ) ¹ ( ¹ )

x − x + −    x − 2    x + est : ^x

^{− 3 x + 9}

2

3 5

2 2

x + x + 5 5

2 x − 2 La factorisation de l’expression

25 x

− 16 est : ( ^{5 x − 4} )

( ^{5 x − 4 5} )( ^{x + 4} ) ( ^{5 x + 4} )

Quatre factorisations, pour s’entrainer

• ^{A =} ( ^{x − 1 2} )( ^{x + − 5} ) ( ^{x − 1} )

^{• B =} ( ^{x − 5} ) (

^{− x − 5 7} )( ^{− 2 x} )

• ^{C = 9 x}

^{− 25 +} ( ^{3 x − 5 2} )( ^{x + 15} ) • ^{D =} ( ^{3 x + 1} )

^{− 4}

1. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’expression A est-elle égale à zéro ?

On commencera par factoriser l’expression, puis on résoudra l’équation A = 0 . 2. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’expression B est-elle égale à zéro ?

On commencera par factoriser l’expression, puis on résoudra l’équation B = 0 . 3. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’expression C est-elle égale à zéro ?

On commencera par factoriser l’expression, puis on résoudra l’équation C = 0 . 4. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’expression D est-elle égale à zéro ?

On commencera par factoriser l’expression, puis on résoudra l’équation D = 0 . Quatre inéquations, pour terminer

Résoudre les inéquations proposées ci-dessous. Représenter l’ensemble des solutions.

• ³ ( ^{x − 5} ) ^{ 5 x + 7 • 5 x +  3 2} ( ^{x − 12} )

• ^{− 7} ( ^{x − 11} ) ^{ − − 5 x 5 • 2} ( ^{x +  − 1} ) ⁵ ( ^{2 x − 1} )