AA s'appelle le vecteur nul et se note

(1)

CALCUL VECTORIEL

I) EXERCICE D'INTRODUCTION

1) On donne les points A et A' , construire à l'aide du quadrillage les points B' et C' tels que AA'B'B et AA'C'C soient des

parallélogrammes.

2) On donne les points A et A' , construire à l'aide du compas les points B' et C' tels que AA'B'B et AA'C'C soient des parallélogrammes.

Dans ces deux cas, on dit que B' et C' sont les images de B et C par la translation qui transforme A en A' et que les couples AA' , BB' et CC' dans cet ordre sont les représentants d'un même vecteur u

II) TRANSLATION

Définition :

Soient A et A' deux points donnés.

A tout point M du plan, on associe, par la translation qui transforme A en A', l'unique point M' tel que [AM'] et [A'M] aient le même milieu.

Conséquence :

pour construire M', on peut tracer le parallélogramme, éventuellement aplati, AA'M'M.

III) VECTEURS Définition :

Soient A et B deux points données, D l'image de C par la translation qui transforme A en B.

On dit que les points A et B pris dans cet ordre et les points C et D pris dans cet ordre sont les représentants du même vecteur u et on note AB=CD=u .

Cas particulier : AA s'appelle le vecteur nul et se note 0

Remarques : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur AB

Pour dessiner le vecteur AB , on trace le segment [AB] puis on dessine une flèche en B.

(2)

On suppose que l’on a choisi une unité de longueur dans le plan.

Soit u=AB un vecteur non nul.

- la direction de u est la droite (AB).

- le sens de u est le sens de A vers B.

- la norme de u notée ∥u∥ est la longueur AB.

0 est le vecteur qui a une norme nulle. ( il n’a pas de sens et il a toutes les directions).

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Le vecteur nul noté 0 est l'unique vecteur de norme nulle (il a toutes les directions) Rq : - La norme se note ∥AB∥= AB

- Si AB=CD=EF ... on dit qu'ils sont des représentants d'un même vecteur.

- AB=0 ⇔ A = B

- AB=CD ⇔ ABCD parallélogramme.

Propriété :

Soit u un vecteur et A un point donnés du plan, alors il existe un et un seul point M du plan tel que AM=u .

IV) ADDITION DE VECTEURS

Définition :

Soit u et v deux vecteurs du plan tels que AB=u et BC=v . On appelle uv le vecteur AC .

On en déduit la relation de Chasles : Pour tous les points A,B et C de l'espace on a ABBC=AC . L'opposé du vecteur u est un vecteur de même direction, même norme et de sens opposé et il se note –u . Donc –AB=BA .

Définition : u –v=u–v . Propriété :

Pour tous les vecteurs u , v et w du plan:

uvw=uvw uv=vu u0=u

u

v

u ^^v

uv

u

v

uv

(3)

V) MULTIPLICATION D'UN VECTEUR PAR UN REEL (faire ex 1) Définition :

Soit u un vecteur de l'espace et k un réel.

Le produit de u par k est le vecteur k.u défini ainsi : - Si k = 0 ou u=0 alors k.u = 0 - Si u≠0 et k ≠0 alors k u :

a la même direction que u sa norme est ∣k∣ ∥u∥ a même sens que u si k > 0 a un sens contraire de u si k < 0

Propriété :

Pour tous les vecteurs u et v et tous les réels k et k' on a : k uv = k u + k v

(k+k') u = k u + k' u k(k' u ) = (kk') u Faire ex 2

Définition :

Deux vecteurs u et v sont colinéaires ⇔ il existe un réel k tek que u = k v .

Rq : le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs (il a toutes les directions).

Propriété :

Pour A ≠ B et M ≠ N on a : (AB) // (MN) ⇔ AB et MN sont colinéaires A, B et C sont alignés ⇔ AB et AC sont colinéaires

Propriété :

I milieu de [AB] ⇔ AB=2AI=2IB ⇔ AI=IB

Ex 1 p 316 - 11 p 317 – 12 p 317 – 13 p 317 - 18 p 318 – 19 p 318

(4)

VI) REPERAGE Faire ex introduction coordonnées

Pour définir un repère du plan, il faut un point O et i et j deux vecteurs non colinéaires.

Repére particulier : repère orthogonal, repère orthonormal...

Définition :

Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x;y ) tels que

OM = x i + y j . (x;y) sont les coordonnées de M dans le repère O;i,j ^. On dit aussi que (x;y ) sont les coordonnées du vecteur OM dans la base (i ; j ) . Rq : x est l'abscisse , y l'ordonnée .

Propriété :

Si u (x ; y) , v (x' ; y' ) , A (xA ; yA ) et B (xB ; yB) alors :

u=v ⇔

{

^xy^{=x '}=y ' uv ( x + x' ; y + y' ) k u ( kx ; ky )

u et v sont colinéaires ⇔ x y’- x’ y = 0 ( car les coordonnées doivent être proportionnelles) AB ( ^xB– x_A ; ^yB– y_A )

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( x_Ax_B

2 ; y_Ay_B

2 )

Propriété :

Si le repère est orthonormal alors :

∥ u∥ =



x²y² et AB = ∥ AB∥ =



^^xB−x_A²y_B−y_A² EX 3 (FP)

EQUATION DE DROITE Propriété :

Dans un repère O; i,j quelconque toute droite admet une équation de la forme ux + vy + w = 0 où u et v sont deux réels dont l’un au moins n’est pas nul. Elle s'appelle une équation cartésienne Réciproque :

L’ensemble des points M (x;y) du plan vérifiant ux + vy + w = 0 où u et v sont deux réels dont l’un au moins n’est pas nul est une droite de vecteur directeur d ( - v ; u )

Exercices : équation de la droite passant par A(2;-5) et de vecteur directeur (-3;4) 16 a) p 423 équation (AB)

17 a) p 423 équation parallèle

(5)

I) EXERCICE D'INTRODUCTION

1) On donne les points A et A' , construire à l'aide du quadrillage les points B' et C' tels que AA'B'B et AA'C'C soient des

parallélogrammes.

2) On donne les points A et A' , construire à l'aide du compas les points B' et C' tels que AA'B'B et AA'C'C soient des parallélogrammes.

Dans ces deux cas, on dit que B' et C' sont les images de B et C par la translation qui transforme A en A' et que les couples AA' , BB' et CC' dans cet ordre sont les représentants d'un même vecteur u

EXERCICE 1:

Choisir un vecteur u et construire 2u , – 3u , 1

3u et –5 4u EXERCICE 2 :

Reproduire le dessin et utiliser le quadrillage pour placer les points M , N , D , E , F et G tels que :

AM=2AB ; BN=– 3AC

AD=3AB2CA ; BE=1

4AC – 2AB ; FB=3

8CA2BC et 7GAGC=CA

EXERCICE 3 :

Dans un repère orthonormé du plan O;i,j on donne les points suivants

A( - 4 ; - 2 ) B ( 5 ; 4 ) C ( 7 ; 1 ) D ( - 2 ; - 5 ) et les vecteurs u



^{– 1}6



^et^^v



– 3²



^.

1) Montrer que ABCD est un parallélogramme.

2) Calculer AB.

3) Calculer les coordonnées des vecteurs uv ; 3u et 5u – 4v.

4) Calculer les coordonnées du point E pour que ABDE soit un parallélogramme.

5) Calculer les coordonnées du point I milieu de [CD].

6) On donne le point F ( 9 ; 6 ), les points A, B et F sont-ils alignés?

7) On donne le point G ( 15 ; - 3 ). Les droites (BC) et (GF) sont-elles parallèles?

8) Déterminer les coordonnées du point M tel que 2MA3MB=2AC 9) Le point L( - 1 ; 3) est-il sur la médiatrice de [AB]?

10) Déterminer une équation de la droite (AB)

A

B

C

(6)

Exercice d'introduction sur les coordonnées de vecteurs

1) Placer le point M tel que OM=AB , puis lire les coordonnées de M.( ; ) On dit u = AB a pour coordonnées ( 2 ; 4 ).

2) Lire les coordonnées de v( ; ) , w ( ; ) et z ( ; ).

3) Donner les coordonnées de A, B, C, D puis à l'aide de ces coordonnées, trouver un calcul permettant de retrouver les coordonnées de u et v.

4) Tracer le vecteur uw et lire ses coordonnées, puis expliquer comment on peut retrouver ce résultat à l'aide des coordonnées de u et w.

5) Tracer le vecteur – 2w et lire ses coordonnées, puis expliquer comment on peut retrouver ce résultat à l'aide des coordonnées de w .