,....a,....aa,a a*....*a*a n21 ni21 ++++ aa....aa....aaaa + 1n1ii3221

A458 : Fractions en ronde fermée

On s’intéresse aux suites de n entiers positifs tous différents entre eux a₁,a₂,....a_i,....a_n tels que la somme S =

1 n 1

i i 3

2 2 1

a ....a a

.... a a a a

a + + + +

+

est égale à un nombre entier.

1) Pour quelles valeurs de n, de telles suites existent-elles ?

2) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle le produit a₁*a₂*....*a_ndes termes de la suite est toujours un cube ?

3) Quelle est la plus petite valeur s de S ? Quelles sont les valeurs de n qui permettent d’obtenir s ?

4) Trouver une suite (si possible la plus courte) telle que S = 2009.

S n’est pas modifié si l’on permute circulairement les termes, ni si on les multiplie par un même nombre.

1) Pour n=2, S=x+1/x avec x=a1/a2, ce qui ne donne un entier que pour x=1, ce qui est exclu par l’énoncé. Pour n≥3, il existe au moins une solution : ai=(n-1)^i-1 pour i=1 à n , qui donne S=(n-1)^n-1+1.

2) Dans le cas n=3, on peut supposer a1, a2 et a3 premiers entre eux (sinon, a1a2a3

est divisible par le cube du pgcd des trois nombres) ; a2/a3 et a3/a1 ont pour somme S-a1/a2 et pour produit a2/a1, ce qui impose que (S-a1/a2)²-4a2/a1

=(a1(a2S-a1)²-4a23)/a1a22 soit le carré d’un rationnel, donc le quotient de a1 par le pgcd p2 de a1 et a2 est un carré ; même chose pour les autres termes : on a donc a1=p2b12=p1c1, a2=p3b22=p2c2, a3=p1b32=p3c3, avec p1, p2 et p3 premiers deux à deux ; il en résulte que p2 divise c1 et b22, etc… et comme c1c2c3=b12b22b32, b2=p2, c1=p1p2, et a1=p12p2, etc… Donc a1a2a3=p13p23p32 est un cube.

3) S est une somme de n rationnels positifs dont le produit est 1 ; S est donc supérieur à n, strictement, puisqu’il n’y a égalité que si tous les rationnels sont égaux à 1: pour n>4, on a donc S>5. Pour n=3, S≥4 : il semble que l’on ne puisse avoir S=4, même si je n’ai pu le démontrer. La valeur s=5 est obtenue quant à elle pour a1=1, a2=2, a3=4 ; il resterait à montrer que l’on ne peut avoir S=5 pour n=4…

4) Après quelques tâtonnements, je propose une solution en 12 termes : 1, 5, 10, 25, 20, 100, 40, 50, 200, 1000, 400, 2000, puisque

1/5+5/10+10/25+25/20+20/100+100/40+40/50+50/200+200/1000+1000/400

+400/2000+2000/1=1/5+1/2+2/5+5/4+1/5+5/2+4/5+1/4+1/5+5/2+1/5+2000=2009