Montrer que pour A, B∈ Aon aA∩B∈ A

UNSA 2018/2019 L3–Mesure et Topologie Feuille d’exercices n^o4

Espaces (pr´e)mesur´es.

Unanneau AsurX est une collectionA ⊂ P(X) telle que 1. ∅ ∈ A;

2. SiA, B ∈ AalorsA∪B∈ A;

3. SiA, B ∈ AalorsB\A∈ A.

Unemesure µsur un anneauAest une applicationµ:A →R⁺ telle que 1. µ(∅) = 0;

2. µ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B) pourA, B∈ A;

3. SiAn↑Aalorsµ(An)↑=µ(A) pourAn, A∈ A.

Un tel triplet (X,A, µ) s’appelle unespace pr´emesur´e.

a. Montrer que pour A, B∈ Aon aA∩B∈ A.

b. Montrer que l’axiome (2) ci-dessus est ´equivalente `a l’axiome:

µ(A∪B) =µ(A) +µ(B) siA∩B=∅.

c. Montrer que l’ensembleA_Rdes r´eunions finies disjointes d’intervalles born´es est un anneau surR. Construire un espace pr´emesur´e (R,A_R, µ_R).

d. Montrer qu’un anneau Asur X est une tribu si et seulement si X ∈ A et pour toutAn↑A avecAn∈ Aon aA∈ A.

e. Montrerµ(A₁∪ · · · ∪A_n)≤µ(A₁) +· · ·+µ(A_n) pourA₁, . . . , A_n∈ A.

On dit qu’une partie Y de X est λ-born´ee s’il existe une suite croissante (An)n≥0 d’´el´ements de Atels que µ(An)≤λet Y ⊂S

n

An.

f. On pose pour Y ∈ P(X): µ^∗(Y) = inf{λ ∈R⁺|Y estλ-born´ee}. Montrer que pourA∈ Aon aµ(A) =µ^∗(A).

g. Montrer que pour Y₁ ⊂ Y₂ on a µ^∗(Y₁) ≤ µ^∗(Y₂). Montrer que pour Y₁, . . . , Y_n∈ P(X) on aµ^∗(Y₁∪ · · · ∪Y_n)≤µ^∗(Y₁) +· · ·+µ^∗(Y_n).

h. Montrer queµ^∗(S

n

Yn)≤P

n

µ^∗(Yn) pour toute famille d´enombrable (Yn).

i. On dit queA∈ P(X) estµ-partitionnant si pour toutY ∈ P(X) on a µ^∗(Y ∩A) +µ^∗(Y\A) =µ^∗(Y).

Montrer que les ´el´ements de l’anneauAsontµ-partitionnant.

j. Montrer que pour une suite croissante (Yn) de partiesµ-partitionnants on a

´egalit´eµ^∗(S

n

Yn) = sup

n

µ^∗(Yn).

k. Montrer que l’ensemble ¯Ades partiesµ-partitionnants forment une tribu sur X. Il convient d’utiliser (d).

l. Montrer que (X,A, µ¯ ^∗_|A¯) et (X, σ(A), µ^∗_|σ(A)) sont des espaces mesur´es.

Remarque. La fonction µ^∗ : P(X) → R+ s’appelle la mesure ext´erieure associ´ee `aµ:A →R+. La mesure ext´erieure n’est pas une mesure surP(X) !!