Montrer que (P) =P A[X] est unA-module

Universit´e Paris Diderot Topologie alg´ebrique – Ann´ee 2014-15 M1 math´ematiques

Feuille 7 Modules 1. SoitAun anneau commutatif int`egre.

1.a. Montrer queA[X] muni de l’actionA×A[X]→A[X] qui `a (a, P) associe aP est unA-module.

1.b. Soitn un entier≥0. Montrer que l’ensembleA[X]n de polynˆomes deA[X] nuls ou de degr´e < nest unA-module libre de rangn.

1.c. SoitP ∈A[X] de degr´en. Montrer que (P) =P A[X] est unA-module. LeAmodule quotientA[X]/(P) est-il libre ? (On pourra consid´ererA=Zet le polynˆome constant ´egal `a 2). Qu’en est-il siP est unitaire ? 2. SoitK un corps. SoitE unK-espace vectoriel. Soituun endomorphisme deE.

2.a. Rappeler commentufait deE unK[X]-module.

2.b. Montrer que si E est de dimension finie comme K-espace vectoriel, E est de type fini commeK[X]- module. Notons alorsM le polynˆome minimal deu. Montrer queE est un K[X]/(M)-module et que c’est unK[X]-module de torsion.

2.c. PosonsE=K[T]. Lorsque uest la multiplication par T, montrer queE est unK[X]-module libre.

2.d. PosonsE =K[T]. Lorsqueuest la d´erivation dansK[T], montrer queE n’est pas de type fini comme K[X]-module (montrer que, si c’´etait le cas, il existeraitP1,...Pr∈K[T] tels que tout ´el´ement de K[T] soit combinaisonK-lin´eaire des d´eriv´ees successives deP1,...Pr.) Montrer que tout ´el´ement deE est de torsion.

3. SoitEun ensemble fini. On rappelle queZ[E] ={n:E→Z}est muni d’une structure de groupe ab´elien par (n1+n2)(x) =n1(x) +n2(x). On pourra noterP

x∈En(x)[x] l’´el´ementndeZ[E]. Ainsi, pourx0∈E, on notera [x0] la fonctionnx0 : E→Zdonn´ee parnx0(x) = 0 six6=x0 etnx0(x0) = 1.

SoitGun groupe fini op´erant sur E par la loi (g, x)7→g.x. On rappelle queZ[G] ={f :G→Z} est muni d’une structure d’anneau par (f1+f2)(g) = f1(g) +f2(g) et (f1f2)(g) = P

h∈Gf1(h)f2(h⁻¹g). On pourra noter l’´el´ementf ∈Z[G] parP

g∈Gf(g)[g].

3.a. Consid´erons l’application Z[G]×Z[E] → Z[E] qui associe `a P

g∈Gf(g)[g],P

x∈En(x)[x]) l’´el´ement P

g∈G

P

x∈Ef(g)n(x)[g.x]. Montrer que cette loi associe `a ([g],[x]) l’´el´ement [g.x] (g∈G,x∈E).

3.b. Montrer que cette loi fait deZ[E] unZ[G]-module. (Elle ´etend l’action deGsurE par lin´earit´e.) 3.c. SoitY un sous-ensemble deE stable par l’action deG. Montrer queZ[Y] est un sous-module deZ[E].

3.d. Soient E1, E2... En les orbites de E sousG. Montrer que Z[E] est somme directe des sous-modules Z[E₁], Z[E₂] ....Z[E_n].

3.e. Montrer queZP

x∈E[x] est un sous-module de Z[E].

3.f. Montrer que Z[E]⁰ ={n ∈Z[E]/P

x∈Xn(x) = 0} est un sous-Z[G]-module de Z[E]. Quelle est son intersection avecZP

x∈E[x] ? Est-ce une somme directe ?

4.a. SoitK un corps. Montrer que l’anneau de polynˆomes en une infinit´e d’ind´etermin´ees A=K[(Xi)i∈N] n’est pas noeth´erien.

4.b. Montrer queAest unA-module de type fini non noeth´erien.

5.a. Montrer queQ/Zest unZ-module de torsion.

5.b. Soientx1,...,xn ∈Q. Montrer qu’il existey∈Qtel quey /∈Zx1+...+Zxn. En d´eduire queQ/Zn’est pas de type fini.

6. SoitAun anneau commutatif. SoientM et N deuxA-modules.

6.a. Posons HomA(M, N) l’ensemble des homomorphismes deA-modules deM versN. Montrer comment il est muni d’une structure deA-module.

6.b. LeA-moduleM^∗= HomA(M, A) s’appelle lemodule dualdeM. Montrer que siM est libre de rangn, il en est de mˆeme de HomA(M, A).

6.c. Quel est le dual duZ-moduleZ/2Z?

6.d. Montrer quem7→(φ7→φ(m)) est un homomorphisme de A-modulesM →(M^∗)^∗. Montrer que c’est un isomorphisme lorsqueM est libre de rang fini. Est-ce un isomorphisme lorsqueA=Zet M =Z/2Z?

6.f. Montrer qu’un homomorphisme deA-modulesf : M →N donne lieu `a un homomorphisme (ditdual) f^∗ : N^∗→M^∗. Montrer que sif est injective,f^∗ est surjective.

7. Soit A un anneau. SoientM et N deux A-modules. Soit f : M → N un homomorphisme surjectif de A-modules. NotonsLle noyau def.

7.a. Donner un exemple o`uM etL sont libres sans queN soit libre.

7.b. Montrer que siLetN sont libres,M est libre. Quel est le rang deM ?

7.c. Donner un exemple o`uM est libre sans queLsoit libre. (On pourra penser `aA=M =Z/9Z.) 7.d. Supposons queM =A² et N=A. Montrer que le noyau def est libre.

7.e. Lorsque M est libre et L est de type fini, on dit que N est de pr´esentation finie. Montrer que tout module de type fini sur un anneau principal est de pr´esentation finie.

7.f. SoitKun corps. Supposons queA=K[(Xi)_i∈N]. Consid´erons l’id´ealIdeAengendr´e par{X1, X2, ...}.

Montrer que l’anneau-quotient A/I est isomorphe `a K, ce qui fait deK unA-module. Montrer que K est de type fini commeA-module, mais pas de pr´esentation finie.

8. Soit A un anneau. Soient M₀, ...M_n des A-modules. Pour i ∈ {1, ..., n}, soit f_i : M_i−1 → M_i un homomorphisme deA-modules. SiIm(f_i) =Ker(f_i+1) (1≤i < n) et sif₁ est injective etf_n est surjective, on dit qu’on a unesuite exacteet on ´ecrit (c’est la situation dans laquelle nous nous pla¸cons) :

0→M0→M1....→Mn→0.

8.a. Montrer que siAest un corps etMiun espace vectoriel de dimensiondi(0≤i≤n), on aPn

i=0(−1)ⁱdi= 0. Montrer qu’il en est de mˆeme siA est principal et siMi est libre de rang di commeA-module.

8.b. Montrer que siA=Zet M_i est un groupe ab´elien fini d’ordre t_i (0≤i≤n), on aQn

i=0t⁽⁻¹⁾_i ⁱ = 1.

8.c. Supposons queA=ZetM_i=T_i⊕N_i, avecT_ifini d’ordret_ietN_ilibre de rangd_i, a-t-onPn

i=0(−1)ⁱd_i= 0 et Qn

i=0t⁽⁻¹⁾

i

i = 1 ? (On pourra examiner le cas o`un= 2,M0=M1 =Z,f1 est la multiplication par 2 etf₂est la surjection canoniqueZ→Z/2Z.)

9.a. Le sous-Z-module 2ZdeZadmet-il un suppl´ementaire ?

9.b. Tout sous-module libre d’un module libre admet-il un suppl´ementaire ?

9.c. SiN est un sous-module deM tel queM/N est libre montrer queN admet un suppl´ementaire dansM. 10. Donner les invariants des groupes ab´eliens suivants (Z/2014Z), (Z/2015Z), (Z/2014Z)^∗, (Z/2015Z)^∗. 11. Donner les invariants des K[X]-modules suivants issus d’un endomorphisme ud’unK-espace vectoriel E.

11.a. Le cas o`uK=Retuest une rotation d’angleθdu plan euclidienE=R<sup>2</sup>. 11.b. Le cas o`uE=K[X]/(P), avecP ∈K[X], P 6= 0, etuest la multiplication parX.

11.c. Le cas o`u E = Kⁿ et u est donn´e par l’expression, dans la base canonique (e₁, ..., e_n), u(e_i) = e₁+e₂+...+e_i(1≤i≤n).

12. SoitA un anneau. SoientM et N deux A-modules. Consid´erons leA-moduleA[M×N] form´e par les fonctionsM×N →Aqui sont `a support fini. Pour (m, n)∈M×N, on note [m, n]∈A[M ×N] l’´el´ement qui prend la valeur 1 en (m, n) et 0 ailleurs.

12.a. Montrer queA[M×N] admet pour base ([m, n])_(m,n)∈M×N.

12.b. Consid´erons le sous-moduleT deA[M×N] engendr´e par les ´el´ements de la forme [m, n1+n2]−[m, n1]−

[m, n2], [m1+m2, n]−[m1, n]−[m2, n], [am, n]−a[m, n], [m, an]−a[m, n] (m,m1,m2∈M,n,n1,n2∈N, a∈A). On noteM⊗AN leA-module quotientA[M×N]/T. C’est leproduit tensoriel deM etN au dessus deA. On notem⊗nl’image de [m, n] dansM ⊗AN. Montrer qu’on am⊗(n1+n2) =m⊗n1+m⊗n2, (m1+m2)⊗n=m1⊗n+m2⊗n, (am)⊗n=a(m⊗n) =m⊗(an) (m,m1,m2∈M,n,n1,n2∈N,a∈A) 12.c. Supposons que A soit un corps. Montrer que si (e₁, ..., e_n) et (f₁, ..., f_m) sont des bases de M et N respectivement, (e_i⊗f_j)(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,m} est une base de M ⊗AN. Quelles est alors la dimension de M⊗AN en fonction des dimensions deM etN ?

12.d. Montrer qu’il existe parfois des ´el´ements dansM⊗_AN qui ne s’´ecrivent pas sous la formem⊗navec m∈M,n∈N. (On pourra prendre par exemple le cas o`uA est un corps etM =N =A².)

12.e. Montrer qu’on a un homomorphisme de A-module M ⊗_AN → Hom_A(M^∗, N) qui `a x⊗y associe l’application qui `aφ∈M^∗associeφ(x)y.