Montrer que pour touta∈A, on aφ(a) =aφ(1), et donc queφest d´etermin´ee parφ(1)

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2017-18 M1 math´ematiques

Feuille 1

Modules – G´en´eralit´es

1.a. SoitAun anneau commutatif. Soitφ: A→Aune applicationA-lin´eaire (un morphisme deA-modules).

Montrer que pour touta∈A, on aφ(a) =aφ(1), et donc queφest d´etermin´ee parφ(1).

1.b. Donner un exemple de morphisme d’anneauxA→Aqui ne soit pas un morphisme deA-modules.

1.c. Donner un exemple de morphisme deA-modulesA→Aqui ne soit pas un morphisme d’anneaux.

1.d. Soit n un entier ≥ 1. Soit M un A-module. Notons (e₁, e₂...e_n) la base canonique de Aⁿ. Soit φ : Aⁿ → M une application A-lin´eaire. Montrer qu’elle est d´etermin´ee par le n-uplet (φ(e₁), φ(e₂)...φ(e_n)).

Montrer que l’applicationφ7→(φ(e1), φ(e2)...φ(en)) est surjective.

1.e. SoitN unAmodule. Soit (e₁, e₂...e_n) une famille deN. Montrer que l’application qui `a l’application A-lin´eaire φ : N → M associe le n-uplet (φ(e1), φ(e2)...φ(en)) est une bijection (resp. injection, resp.

surjection) si (e1, e2...en) une base (resp. famille g´en´eratrice, resp. famille libre) deN. Donner des exemples o`u cette application n’est pas bijective lorsque (e1, e2...en) est libre (resp. g´en´eratrice).

2. SoitAun anneau commutatif. SoitM unA-module. Il est ditsimples’il ne poss`ede pas de sous-module distinct de{0}et M.

2.a. Montrer queAest simple si et seulement siAest l’anneau nul ou est un corps.

2.b. Donner des exemples d’id´eauxI deAqui sont desA-modules simples.

2.c. Montrer que toutA-module simple non nul est isomorphe `a A/I o`u Iest un id´eal maximal deA.

2.d. SoitI un id´eal non-trivial deA. Montrer queA/I n’est pas un module libre.

2.e. Supposons que toutA-module est libre. Montrer queAest un corps ou l’anneau nul.

3. SoitAun anneau commutatif. SoitM unA-module. SoitIun id´eal deA. PosonsM[I] ={m∈M/Im= 0}et notonsIM le sous-module deM engendr´e par{tm/t∈I, m∈M}. SiIest un id´eal principal engendr´e para∈A, on poseM[a] =M[I] etaM =IM.

3.a. Montrer queM[I] etIM sont des sous-A-modules deM.

3.b. SupposonsIprincipal. Soitaun g´en´erateur deI. Montrer queM →M qui `amassocieamest lin´eaire.

Montrer que son noyau estM[I], que son image estIM, puis que le moduleM/M[I] est isomorphe `aIM. 3.c. Supposons de plusM fini. Montrer que les A-modulesM[I] etM/IM sont finis et de mˆeme cardinal.

3.d. SoitN unA-module isomorphe `a M. Montrer queM[I] (resp. IM) est isomorphe `a N[I] (resp. IN).

3.e. En consid´erant le casA=Z,I=pZ, avecppremier,M =Z/p²Zet N= (Z/pZ)², d´eterminerM[I] et N[I]. En d´eduire queM etN ne sont pas isomorphes.

4.a. Tout sous-module libre d’un module libre admet-il un suppl´ementaire ?

4.b. SiN est un sous-module deM tel queM/N est libre, montrer queN admet un suppl´ementaire.

5. SoitAl’anneau des fonctions continuesR→RetI l’ensemble des ´el´ements deA`a support compact.

5.a. Montrer queI est un id´eal deA(et donc un sous-module).

5.b. Montrer queIn’est pas de type fini comme A-module.

6. SoitK un corps commutatif. PosonsA={P ∈K[X]/P =a₀+a₂X²+a₃X³+...}.

6.a. Montrer queAest un anneau commutatif.

6.b. NotonsI l’id´eal de Aengendr´e par{X², X³}. Est-il principal ? Est-ce unA-module isomorphe `aA? 6.c. Montrer que l’applicationA<sup>2</sup>→Iqui `a (P, Q) associeP X²+QX³ est surjective.

6.d. Montrer que son noyau est unA-module isomorphe `a A.

7.a. SoitKun corps. Montrer que l’anneau A=K[(Xi)i∈N] n’est pas noeth´erien.

7.b. Montrer queAest unA-module de type fini non noeth´erien.

8. SoitAun anneau commutatif int`egre. Soitnun entier≥0.

8.a. Montrer queA[X] muni de l’actionA×A[X]→A[X] qui `a (a, P) associe aP est unA-module.

8.b. Montrer que les polynˆomes deA[X] nuls ou de degr´e< nconstituent unA-module libre de rangn.

8.c. SoitP ∈A[X] de degr´en. Montrer que (P) =P A[X] est unA-module. LeAmodule quotientA[X]/(P) est-il libre ? (On pourra consid´ererA=Zet le polynˆome constant ´egal `a 2). Qu’en est-il siP est unitaire ? 9. Soit A un anneau commutatif. Soit M un A-module. Notons End_A(M) l’ensemble des applications lin´eairesA→A.

9.a. Rappeler pourquoi c’est unA-module, un anneau. Est-ce uneA-alg`ebre ?

9.b. Montrer que l’applicationA→EndA(M) donn´ee para7→(m7→am) est un morphisme d’anneaux.

10. SoitAun anneau commutatif int`egre. SoitM unA-module. Soitm∈M. On dit quemest detorsion s’il existea∈A,a6= 0 tel queam= 0. On noteMtorsl’ensemble des ´el´ements de torsion deM. On dit que M est detorsionsiM =Mtors. On dit queM est sans torsionsiMtors={0}.

10.a. Montrer queMtors est un sous-A-module deM.

10.b. Montrer que le module quotientM/M_tors est sans torsion.

10.c. Montrer que siAest infini, toutA-module fini est de torsion.

10.d. SoientM et N deuxA-modules. Soitf : M →N un morphisme surjectif deA-modules. NotonsLle noyau def. Montrer que siLet N sont de torsion, M est de torsion.

10.e. Montrer queQ/Zest unZ-module de torsion. Montrer que l’ensemble des racines de l’unit´e dans C est unZ-module de torsion. L’ensemble des nombres complexes de module 1 est-il unZ-module de torsion ? 10.f. Soientx1,...,xn ∈Q. Montrer qu’il existe y ∈Qtel que y /∈Zx1+...+Zxn. En d´eduire que Q/Z n’est pas de type fini.

11. Soit Aun anneau commutatif. Soient M et N deux A-modules. Posons HomA(M, N) l’ensemble des morphismes deA-modules deM versN. En particulier,M^∗= HomA(M, A) s’appelle lemodule dualdeM. 11.a. Rappeler comment HomA(M, N) est muni d’une structure deA-module.

11.b. Montrer que siM est libre de rang n, il en est de mˆeme de HomA(M, A).

11.c. Quel est le dual duZ-moduleZ/2Z?

11.d. Montrer que m7→(φ7→φ(m)) est un morphisme deA-modules M →(M^∗)^∗. Montrer que c’est un isomorphisme lorsqueM est libre de rang fini. Est-ce un isomorphisme lorsqueA=ZetM =Z/2Z? 11.e. Montrer qu’un morphisme de A-modules f : M → N donne lieu `a un morphisme (dit dual) f^∗ : N^∗→M^∗. Montrer que sif est surjective, f^∗ est injective. Sif est injective,f^∗ est-elle surjective ? 12. SoitAun anneau commutatif. SoientM etN deuxA-modules. Soitf : M →N un morphisme surjectif deA-modules. NotonsLle noyau def.

12.a. Donner un exemple o`uM et Lsont libres sans queN soit libre.

12.b. Montrer que siLet N sont libres, M est libre. Quel est le rang deM ?

12.c. Donner un exemple o`u M est libre sans queL soit libre. (On pourra penser `a A=M =Z/9Z.) 12.d. Supposons queM =A² etN =A. Montrer que le noyau def est libre.

12.e. Lorsque M est libre et L est de type fini, on dit que N est de pr´esentation finie. Montrer que tout module de type fini sur un anneau principal est de pr´esentation finie.

12.f. SoitKun corps. Supposons queA=K[(X_i)_i∈N]. Consid´erons l’id´ealIdeAengendr´e par{X1, X₂, ...}.

Montrer que l’anneau-quotient A/I est isomorphe `a K, ce qui fait deK unA-module. Montrer que K est de type fini commeA-module, mais pas de pr´esentation finie.

13. SoitA un anneau commutatif,M unA-module noeth´erien etuun morphisme surjectifM →M. 13.a. Montrer que la suite des noyaux deuⁿ est croissante, pournentier≥1.

13.b. En d´eduire queuest injectif (et donc bijectif).

13.c. SiAn’est pas un corps, existe-t-il toujours une application lin´eaire injective et non surjectiveA→A? 14. SoitA un anneau commutatif. SoitM unA-module de type fini etI un id´eal deA.

14.a. SoitC une matrice carr´ee `a coefficients dansI. Montrer que le d´eterminant de Id +Cest dans 1 +I.

14.b. Supposons queM =IM. Soit (m_i)_i∈J une famille finie de g´en´erateurs duA-moduleM. Montrer qu’il existe une matrice B = (b_i,j)_(i,j)∈J2 telle que, pour tout i ∈I, on ait m_i =P

j∈Jb_i,jm_j. Montrer que le d´eterminant de Id−B annuleM.

14.c. Supposons queM =IM, montrer qu’il existea∈I tel que (1 +a)M = 0.

14.d. En d´eduire que, siI est l’unique id´eal maximal deA, et queM =IM, on aM ={0}.

14.e. NotonsRl’intersection de tous les id´eaux maximaux deA. Montrer que siRM =M, on aM ={0}.

14.f. On supposeIde type fini et tel queI²=I. Montrer qu’il existe un g´en´erateuredeItel que e²=e.