1. a. Montrer que

MPSI B 24 janvier 2020

Énoncé

Soit G , un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e dans lequel il existe deux éléments a et b , distincts et diérents de e vériant

aba = b On note H = {a ^j b ^k , (j, k) ∈ Z ² } .

1. a. Montrer que

∀j ∈ Z , a ^j b = ba ^−j b. Montrer que pour tous les entiers j et k dans Z :

∀(j, k) ∈ Z ² , a ^j b ^k = b ^k a ⁽⁻¹⁾

^j 2. Montrer que H est le sous-groupe de G engendré par a et b .

3. On suppose qu'il existe des entiers k et s strictements positifs tels que

a ^k = e , b ^s = e On note :

n = min{k ∈ N ^∗ , a ^k = e} , m = min{k ∈ N ^∗ , b ^k = e}

et on suppose que m et n sont premiers entre eux.

a. Montrer que, pour tout p dans Z, a ^p = e entraîne p multiple de n . b. Montrer que, pour tous entiers relatifs j et k :

a ^j = b ^k ⇒ j ∈ n Z et k ∈ m Z c. Montrer que l'application

{0, · · · , n − 1} × {0, · · · , m − 1} → H (j, k) 7→ a ^j b ^k est bijective. Combien H contient-il d'éléments ?

4. Soit G le groupe des bijections de C dans C. Déterminer le cardinal du sous-groupe H de G engendré par les applications r et s dénies par :

∀z ∈ C , r(z) = jz , s(z) = ¯ z Interpréter géométriquement chaque élément de H .

Corrigé

1. a. Montrons d'abord la formule par récurrence pour les j dans N.

La formule est vériée pour j = 0 (car a ⁰ = e ) et pour j = 1 car relation s'écrit aussi ab = ba ⁻¹ . De plus :

∀j ∈ N : a ^j b = ba ^−j ⇒ aa ^j b = aba ^−j ⇒ aa ^j b = ba ⁻¹ a ^−j ⇒ a ^j+1 b = ba ^−(j+1) Comme la relation pour j est la même que pour −j , elle est vraie pour tout j ∈ Z.

b. Pour tout k ∈ Z , notons (P k ) la proposition :

(P k ) ∀j ∈ Z : a ^j b ^k = b ^k a ⁽⁻¹⁾

^j . On a prouvé (P 1 ) en a.. De plus

(P k ) ⇒ ∀j ∈ Z : ba ^j b ^k = bb ^k a ⁽⁻¹⁾

^j ⇒ ∀j ∈ Z : a ^−j bb ^k = bb ^k a ⁽⁻¹⁾

^j

⇒ ∀j ∈ Z : a ^−j b ^k+1 = b ^k+1 a ⁽⁻¹⁾

^j ⇒ ∀j ∈ Z : a ^j b ^k+1 = b ^k+1 a ⁽⁻¹⁾

^(−j) . Pour la dernière implication, on a utilisé un j ⁰ = −j qui est quelconque dans Z que l'on a réécrit ensuite avec la lettre j . La dernière proposition est bien (P k ) . On peut raisonner de la même manière en multipliant à gauche par b ⁻¹ et prouver (P k ) ⇒ (P _k−1 ) ce qui entraîne que la relation est valable dans Z.

2. On veut montrer que H = {a ^j b ^k , (j, k) ∈ Z ² } est le sous-groupe engendré par a et b . Notons < a, b > le sous-groupe engendré par a et b . Par dénition de cours, il s'agit de l'intersection de tous les sous-groupes contenant a et b .

Comme < a, b > est un sous-groupe contenant a et b , il contient aussi les a ⁱ b ^j pour tous les entiers i et j . On a donc H ⊂ < a, b > .

L'ensemble H est non vide et contient a et b par dénition même. Si h et h ⁰ sont deux éléments quelconques de H , il existe des entiers i , j , k , l tels que :

hh ⁰ = a ⁱ b ^j a ^k b ^l = a ⁱ (b ^j a ^k )b ^l = a ⁱ a ⁽⁻¹⁾

^k b ^j b ^l ∈ H h ⁻¹ = (a ⁱ b ^j ) ⁻¹ = b ^−j a ⁻ⁱ = a ⁽⁻¹⁾

ⁱ b ^−j ∈ H

Ceci prouve que H est un sous groupe contenant a et b et montre < a, b > ⊂ H . 3. a. Voir cours sur l'ordre d'un élément et les sous-groupes de ( Z , +) .

b. Deux méthodes possibles : avec le théorème de Bezout ou avec le théorème de Gauss. Avec le théorème de Gauss : élever à la puissance n puis à la puissance m . c. Pour l'injectivité utiliser b. Pour la surjectivité, utiliser une division euclidienne.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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4. On se trouve dans la situation du problème avec r ◦ r ◦ r = id , s ◦ s = id , r ◦ s ◦ r = s . La dernière relation est justiée par : ∀z ∈ C , r ◦ s ◦ r(z) = j jz = jj z = z .

On obtient un groupe (dit groupe diédral) de 6 transformations géométriques simples.

id est l'identité.

r est la rotation d'angle ^2π _‘3 (le tiers de tour ).

r ² est la rotation d'angle ^4π _‘3 .

s est la symétrie par rapport à la droite réelle.

r ◦ s est la symétrie par rapport à la droite de direction j ² (vérier que j ² est invariant).

r ² ◦s est la symétrie par rapport à la droite de direction j (vérier que j est invariant).

Il s'agit en fait du groupe des isométries qui conservent le triangle équilatéral (1, j, j ² ) .

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