a) Montrer que pour tout entier n, −1unun11

Classe : T S

Pour réviser pour l’oral – Suites

Exercice 1

1) On considère la fonction f définie sur [-4 ; +∞[ par ^{f x=3}_x^x2_5 . a) Démontrer que f est croissante sur [-4 ; +∞[.

b) Résoudre l'équation f (x)=x sur [-4 ; +∞[.

2) On considère la suite (u_n) définie par ^u0=−1 et pour tout entier n, ^un+1=f(u_n). a) Montrer que pour tout entier n, −1u_nu_n11.

b) Que peut-on en déduire ? c) Déterminer la limite de (u_n). Exercice 2

La suite (u_n) est définie, pour tout entier naturel n, par : ^u0=−2 et u_n+1=1

2u_n+3 . 1) Montrer par récurrence que cette suite est majorée par 6.

2) Montrer que cette suite est croissante.

3) Conclure quant à la convergence de la suite (u_n). Déterminer la limite de (u_n). Exercice 3

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par : 1) Pour tout entier naturel n, un=4n³−3n+1

n²+3n−2 . 2) Pour tout entier natureln, u_n=√²ⁿ⁺¹⁻√^2n.

3) Pour tout entier natureln non nul, ^un=−n²−5n+ 1 n . Exercice 4

Soit f la fonction définie sur ℝ* par f (x)=x³−2−1 x .

1) a) Justifier tous les éléments du tableau de variations suivant :

x –∞ 0 +∞

f

–∞

+∞

–∞

+∞

b) Déterminer le nombre de solutions de l'équation f (x)=0.

c) Déterminer une valeur approchée au centième de chacune des solutions.

2) Soit (u_n) la suite définie par ^u0=2 et pour tout entier n, ^u_n+1=f(u_n). a) Montrer que pour tout entier n, 1,8<u_n<u_n+1.

b) Que peut-on déduire pour (u_n) ?

Correction Exercice 1

1) a) f est dérivable sur [-4 ; +∞[ et pour tout réel ^x⩾0 : ^{f '(x)= 13} (x+5)² . Pour tout réel x⩾−4, f '(x)>0 donc f est croissante sur [-4 ; +∞[.

b) f (x)=x ssi ^3x+2

x+5 −x²+5x

x+5 =0 ssi ^−x

2−2x+2 x+5 =0

−x²−2x+2 :  = 12 ; 2 racines x₁=2+√¹²

−2 =−1−√^{3≈−2,73 et x}2=−1+√^3≈0,73.

S = { ₋₁₊√^{3 ; −1−}√^3}

2) a) Initialisation : ^u0=−1 et ^u1=f (−1)=−0,25 donc −1⩽u₀⩽u₁⩽1. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang k ( k entier) cad −1⩽u_k⩽u_k+1⩽1. f est croissante sur [-4 ; +∞ [ donc ^{f (−1)⩽f(u}k)⩽f (u_k+1)⩽f(1) puis ⁻¹

4 ⩽u_k+1⩽u_k+2⩽5 6 . Ainsi −1⩽1−0,25⩽u_k+1⩽u_k+2⩽5

6⩽1 . La propriété est vraie au rang k+1. Conclusion : Pour tout entier n, −1⩽u_n⩽u_n+1⩽1.

b) (u_n) est donc croissante et majorée par 1 donc elle converge. On note L sa limite.

c) On a : * pour tout entier n, ^u_n+1= f(u_n) ; * (u_n) converge vers L ; * f est continue en L donc f (L)=L. D’après la question 1)b) L=−1+√^3.

(un) converge vers ₋1+√^3.

Exercice 2

La suite (u_n) est définie, pour tout entier naturel n, par : ^u0=−2 et ^u_n+1=1

2u_n+3. 1) Montrons par récurrence que pour tout entier n u_n⩽6.

Initialisation : ^u0=−2<6 donc la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que la propriété est vraie au rang k (k ∈ ℕ) c'est à dire que ^uk⩽6. 1

2u_k⩽1

2×6 ; 1

2u_k+3⩽3+3 cad ^uk+1⩽6. La propriété est vraie au rang k+1.

Conclusion : Pour tout entier n, ^uk⩽6. On en déduit que (un) est majorée par 6.

2) Soit n un entier.

u_n+1−u_n=1

2u_n+3−u_n=−1

2u_n+3. Or ^un⩽6 donc −1

2u_n⩾−1

2×6 puis −1

2u_n+3⩾−3+3 cad ^un+1−u_n⩾0. (u_n) est croissante sur ℕ.

3) (u_n) est croissante et majorée donc elle converge. On note L sa limite.

D'une part, _n^lim_{→+ ∞}^un+1=L.

D'autre part, en utilisant les propriétés des limites, lim

n→+ ∞

1

2u_n+ 3=1 2 L+3 . Par unicité de la limite, on en déduit que L=1

2L+3. L=1

2L+3 ssi 1

2L=3 ssi L=3×2 ssi L=6.

Conclusion : (u_n) converge vers 6.

Les phrases en vertes sont des explications, elles ne doivent pas figurer sur votre copie Exercice 3

1) FI au numérateur « +∞–∞ »

Pour tout entier naturel n non nul, u_n=

n³(^{4−n32+ n13})

n²(^{1+ 3n−n22})^=n×(^{4−n32+ n13})

1+ 3 n−2

n² D'une part, par limite de somme, ^lim

n→+ ∞(4−3 n²+ 1

n³)=4 et ^lim

n→+ ∞(1+ 3 n− 2

n²)=1 puis par limite de

quotient, lim

n→+ ∞

4−3 n²+ 1

n³ 1+ 3

n−2 n²

=4.

D'autre part, _{n→+ ∞}^{lim n=+ ∞}.

Ainsi, par limite de produit, _n^lim_{→+ ∞}^{un=+ ∞}. 2) FI « +∞–∞ »

Pour tout entier natureln, u_n=(√²ⁿ⁺¹⁻√^2n)×√²ⁿ⁺¹⁺√²ⁿ

√²ⁿ⁺¹⁺√²ⁿ⁼√^{22n+n+1−21+} √ⁿ²ⁿ⁼√²ⁿ⁺¹¹⁺√^{2n .}

lim

n→+ ∞√^{2n+1=+ ∞} _et ^lim

n→+ ∞√^{2n=+ ∞} . Par limite de somme, _n^lim_{→+ ∞}√²ⁿ⁺¹⁺√^{2n=+ ∞}_{, puis par}

limite de quotient, _n^lim_{→+ ∞}^un=0.

3) ^lim

n→+ ∞−n²=−∞ ; _{n→+ ∞}^{lim −5n=−∞} et lim

n→+ ∞

1

n=0. Par limite de somme, _n^lim_{→+ ∞}^un=−∞

Exercice 4

1) a) * f est définie sur ℝ*.

* Limites :

→ _x^lim_→−∞^{x3−2=−∞} et ^lim

x→−∞

1

x=0 donc par limite de somme _x^lim_→−∞ ^f(x)=−∞

→ _x^lim_{→+ ∞}^{x3−2=+ ∞} et lim

x→+ ∞

1

x=0 donc par limite de somme _x^lim_→−∞ ^{f(x)=+ ∞} → ^lim

x→0^-

x³−2=−2 et ^lim

x→0^-

1

x=−∞ puis ^lim

x→0^-−1

x=+ ∞ dc par limite de somme ^lim_x→0-

f (x)=+ ∞ → ^lim

x→0⁺

x³−2=−2 et lim

x→0⁺

1

x=+ ∞ puis lim

x→0⁺

−1

x=−∞ dc par limite de somme ^lim

x→0⁺

f(x)=−∞

* Dérivée :

f est dérivable sur ℝ* et pour tout réel ^x non nul : ^{f '(x)=3x2+ 1} x² Pour tout réel x non nul 3x²>0 et 1

x²>0 donc f '(x)>0.

* Tableau de variations :

x –∞  0  +∞

f '(x) + +

f

–∞

+∞

–∞

+∞

b) * Sur ] –∞ ; 0[ : f est continue et strictement croissante. De plus, _x→−∞^{lim f(x)=−∞} et lim

x→0^-

f (x)=+ ∞, ainsi 0 ∈ ]–∞ ; +∞[ donc l'équation ^f (x)=0 admet une unique solution  sur cet intervalle.

* Sur ]0;+∞ [: de même l'équation f (x)=0 admet une unique solution  sur cet intervalle.

* Conclusion : L'équation f (x)=0 admet exactement 2 solutions distinctes sur ℝ*.

c) Avec la table de la calculatrice, (ligne en verte uniquement au brouillon).

1 <  < 2 ; 1,3 <  < 1,4 ; 1,39 <  < 1,4 ; 1,395 <  < 1,396

f (1,395)≈−0,002 et f (1,396)≈0,004 donc 1,395 <  < 1,396 puis ≈ 1,4 au centième prés.

-1 <  < 0 ; -0,5 <  < -0,4 ; -0,48 <  < -0,47 ; -0,475 <  < -0,474

f (−0,475)≈−0,001 et f (−0,474)≈0,003 dc -0,475 <  < -0,474 puis  ≈ -0,47 au centième prés.

2) Soit (u_n) la suite définie par ^u0=2 et pour tout entier n, ^u_n+1=f(u_n). a) Montrer que par récurrence que pour tout entier n, 1,8<u_n<u_n+1.

Initialisation : ^u0=2 et ^u1=f (u₀)=f (2)=5,5. On a 1,8<u₀< u₁ donc la prop est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un entier k cad que ^1,8<u_k<u_k+1. Montrons que 1,5<u_k+1<u_k+2.

1,8<u_k<u_k+1 et f est strictement croissante sur ]0;+∞[ donc ^{f (1,8)< f (u}k)< f(u_k+1). f (1,8)≈3,3 donc ^1,8< f(1,8)<u_k+1<u_k+2. La propriété est vraie au rang k+1.

Conclusion : Pour tout entier n, 1,8<u_n<u_n+1. b) (u_n) est croissante.