PanaMaths
[1 - 2]Novembre 2006
On considère la suite ( ) u
ndéfinie par : 3
25
n
n n
u =
+1. Montrer que la suite ( ) u
nest géométrique.
2. Etudier les variations de ( ) u
n.
3. Montrer que la suite ( ) u
nest bornée.
Analyse
On doit se garder de manipulations hasardeuses sur les puissances. De la valeur de la raison découlent en fait la plupart des résultats …
Résolution
Question 1.
Notons d’abord que pour tout entier naturel n, on a : 3n+2 >0 et 5n >0 (puissances de nombres strictement positifs).
On a alors, pour tout entier naturel n :
1 2
1 2 1 2
1 1
2 1 2 1 2
3
3 5 5 3 5
5
3 5 3 5 3
5
n
n n n n n
n n
n n n n n
n
n
u u
+ +
+ + + +
+ +
+ + + + +
= = × = × =
5×5n
3 3× n+2
× 3n+2
1 3 3
5 1 5
= × =
Le rapport n 1
n
u u
+ étant constant pour toute valeur de l’entier naturel n, on en déduit :
La suite
( )
un est géométrique (sa raison valant 3 5 ).PanaMaths
[2 - 2]Novembre 2006 Question 2.
La suite
( )
un est à terme positifs et, pour toute valeur de l’entier naturel n, le rapport n 1n
u u
+ est strictement inférieur à 1.
On en déduit (voir théorème du cours) :
La suite
( )
un est strictement décroissante.Question 3.
On a : pour tout entier naturel n, un >0. On en déduit immédiatement que la suite
( )
un est minorée par 0.Par ailleurs, on a vu à la question précédente que la suite
( )
un était strictement décroissante.On a donc, pour tout entier naturel n : un ≤u0. Or :
2 0 2
0 0
3 3 9
u 5
= + = = .
Donc : ∀ ∈n `, un≤9. La suite
( )
un est donc majorée par 9.La suite
( )
un étant minorée et majorée, elle est bornée.La suite
