DEVOIR MAISON N° 1 TERMINALE S 3 A rendre le 19 septembre 2003 A. Quelques propriétés du nombre d’or :
On considère le nombre réel 1 5
φ= +2 ( appelé nombre d’or ) ; 1) Montrer que φ2 = +φ 1 ; 1 φ 1
φ = − ; 1 1
1 1 φ
φ
= + + .
2) Exprimer φ3 et φ4en fonction de φ . Pour tout entier naturel n, peut-on exprimer φn en fonction de φ ? B. Etude d’une suite :
Soit la fonction f définie sur ] -1 ; +∞[ par 1 1 2
1 1 1 1
f ( x ) x
x x
= + = +
+ + .
On considère alors la suite ( u )n définie par u0=1 et un+1= f ( u )n .
1) Etudier la fonction f sur ] -1 ; +∞[ ( limites aux bornes, éventuelles asymptotes, variations ).
2) Représenter, dans un repère orthonormé (O ; i jr r ,
) ( unité graphique : 4 cm ), la fonction f , la droite (d) d’équation y = x et la représentation graphique en chemin de la suite ( u )n ( jusqu’au terme u5).
3) La suite ( u )n semble-t-elle monotone ? semble-t-elle convergente ? Si oui, quelle peut être sa limite ? 4) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un ≥1.
5) Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[ , on a 3 5 2 1
( )( x )
f ( x )
( x )
φ − −φ
− = + .
6) En déduire que, pour tout x de [1 ; +∞[ , on a 1 f ( x )− <φ 4 x−φ . 7) Montrer que, pour tout entier naturel n, 1 1
n 4 n
u+ − <φ u −φ . 8) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1
n 4n
u − <φ . 9) En déduire la convergence et la limite de la suite ( u )n .
C. La suite de Fibonacci et une suite associée:
On considère la suite de Fibonacci : c’est la suite ( w )n définie par w0=1, w1=1 et pour tout entier naturel n,
2 1
n n n
w+ =w+ +w .
1) Calculer les 6 premiers termes de cette suite.
2) On considère alors la suite ( v )n définie par n n1
n
v w w
= + . Calculer les 5 premiers termes de cette suite ainsi que leurs valeurs approchées au millième.
3) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a vn+1= f ( v )n ; en déduire la convergence et la limite de la suite ( v )n .
QCM ( 1 ) TERMINALES S NOM : ... PRENOM : ...
