Terminale S Correction Test 1 2018-2019
I Suite récurrente
On considère la suite (u
n)
n∈Ndéfinie par u
n+1= 1, 2u
n+3 et u
0= 1. On définit (v
n)
n∈Npar v
n= u
n+15, pour tout n ∈ N .
1.
ProuÆver que(v
n)
n∈N est géométrique de rai son 1,2.Pour tout n ∈ N ,
v
n+1= u
n+1+ 15
= 1, 2u
n+ 3 + 15
= 1, 2u
n+ 18
= 1, 2(v
n− 15) + 18
= 1, 2v
nLa suite (v
n) est donc géométrique de raison 1,2.
2.
Expres sion dev
n en fontion den
.Pour tout n ∈ N , le cours permet d’écrire : v
n= v
0q
n= 16 × 1, 2
n. En effet v
0= u
0+ 15 = 1 + 15 = 16
donc u
n= v
n− 15 = 16 × 1, 2
n− 15, pour tout n ∈ N .
II Suite explicite
Soit (u
n)
n∈Nla suite définie, pour tout n ∈ N , par u
n= − 1 − 3n 4 + 2n 1.
Ju stifier queu
n6 0
pour toutn ∈ N
.Pour tout n ∈ N , 4 + 2n > 0
− 1 − 3n < 0
⇒ u
n< 0 avec la règle des signes du quotient
2.
ExpriÆmeru
n+1− u
n pour toutn ∈ N
.En déduire que la suite
(u
n)
n∈N est déroi s saÆnte.Pour tout n ∈ N , on évalue
u
n+1− u
n= − 1 − 3(n + 1)
4 + 2(n + 1) − − 1 − 3n 4 + 2n
= − 3n − 4
2n + 6 − − 1 − 3n 2n + 4
= − 3n − 4
2n + 6 × 2n + 4
2n + 4 + 1 + 3n
2n + 4 × 2n + 6 2n + 6
= − 6n
2− 12n − 8n − 16 + 2n + 6 + 6n
2+ 18n (2n + 4)(2n + 6)
= − 10
(2n + 4)(2n + 6)
n > 0 − 10 < 0
(2n + 4)(2n + 6) > 0
⇒ u
n+1− u
n< 0 ⇔ u
n+1< u
n⇔ (u
n) est décroissante.
Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 2
Terminale S Correction Test 1 2018-2019
III Suite définie par récurrence
On considère la suite (u
n)
n∈Ndéfinie par
u
0= − 1
u
n+1= 0, 2u
n+ 0, 6 1.
Caluler les troi s premier s terÆmes de la suite(u
n)
n∈N.
u
0= − 1 ; u
1= 0, 2 × ( − 1) + 0, 6 = 0, 4 et u
2= 0, 68.
2.
Démontrer par réurreneP (n) : pour tout entier n > 0, u
n6 u
n+16 1.
• Initialisation : u
0= − 1 et u
1= 0, 4 donc u
06 u
16 1 et P (0) est vraie.
• Hérédité : Soit n ∈ N , supposons P (n) vraie et montrons que P(n + 1) est vraie.
P(n) est vraie ⇔ u
n6 u
n+16 1
⇒ 0, 2u
n6 0, 2u
n+16 0, 2
⇔ 0, 2u
n+ 0, 6 6 0, 2u
n+1+ 0, 6 6 0, 8
⇒ u
n+16 u
n+26 0, 8 < 1 donc P(n + 1) est vraie.
• Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n ∈ N ,
u
n6 u
n+16 1.
3.
En déduire le sen s de variation de la suite(u
n)
n∈N. Est-elle borÆnée?La relation précédente u
n6 u
n+1a permis de justifier que (u
n) est croissante.
De u
n6 1, on déduit que (u
n) est majorée par 1. Comme (u
n) est croissante, elle est minorée par son premier terme u
0= − 1, donc (u
n) est bornée : ∀ n ∈ N , − 1 6 u
n6 1.
4. On définit la suite (v
n)
n∈Npar v
0= 2 et v
n+1= 0, 2v
n+ 0, 6.
Émettre des on jetures sur le sen s de variation de
(v
n)
et le aratère miÆnoréeou ma jorée de