On considère la suite ( ) u

PanaMaths

[1 - 3]

Novembre 2006

On considère la suite ( ) u

n

définie par :

2 2

2 5

,

ⁿ

4 3 n u n

n

∀ ∈ = +

` +

1. Montrer que la suite ( ) u

n

est minorée par 1 2 . 2. Etudier les variations de ( ) u

n

.

3. Montrer que ( ) u

n

est bornée.

4. Déterminer lim

_n

n_→+∞

u .

Analyse

L’exercice fait appel aux principales notions du cours relatives aux suites de la forme

n

( )

u = f n . Ici, la fonction f est rationnelle.

Résolution

Question 1.

On étudie la différence 1

n 2 u − . Pour tout entier naturel n, on a :

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

2 2

2

2

1 2 5 1

2 4 3 2

2 2 5 4 3

2 4 3

4 10 4 3

2 4 3

7

2 4 3

n

u n

n

n n

n

n n

n

n

− = + −

+

+ − +

= +

+ − −

= +

= +

Pour tout entier naturel n, on a : 4n²≥0 et donc 4n²+ ≥ >3 3 0.

PanaMaths

[2 - 3]

Novembre 2006

On en déduit que la différence 1

n 2

u − est strictement positive.

1

2 est donc un minorant de la suite

( )

un

Question 2.

Pour tout entier naturel n, on a : un = f n

( )

où f est la fonction rationnelle définie sur \ par :

( )

^{2 2}₂ ⁵

4 3

f x x x

= + + Etudions les variations de f sur \⁺.

En tant que fonction rationnelle, f est dérivable sur cet intervalle et on a :

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

3

4 4 3 2 5 8

'

4 3

16

x x x x

f x

x x

× + − + ×

= +

= +12x−16x³

( )

( )

2 2

2 2

40

4 3

28

4 3

x x

x x

− +

= − +

Pour x>0, on a donc : ^{f '}

( )

^x <⁰. La fonction f est donc strictement décroissante sur \⁺. Finalement :

La suite

( )

un est strictement décroissante.

Question 3.

On a vu, à la première question, que la suite

( )

un était minorée. Pour montrer qu’elle est bornée, il convient donc de montrer qu’elle est majorée.

A la question précédente, on a montré que la fonction f était strictement décroissante sur \⁺. On a donc :

( ) ( )

, 0

x ⁺ f x f

∀ ∈\ ≤

Or,

( )

^{0 5}

f =3. On a donc : ^,

( )

⁵

x ⁺ f x 3

∀ ∈\ ≤ . En particulier : pour tout entier naturel n :

( )

⁵

f n ≤3, c’est à dire : 5

n 3 u ≤ .

PanaMaths

[3 - 3]

Novembre 2006

La suite

( )

un est donc majorée par 5 3.

La suite

( )

un est minorée et majorée, elle est bornée.

Question 4.

En utilisant le théorème sur les termes de plus haut degré (sinon, on factorise au numérateur et au dénominateur par « x² », il vient :

( )

^{2 2}₂ ^{2 1}

lim lim

4 4 2

x x

f x x

→+∞ = →+∞ x = =

On en déduit :

lim 1

n 2

n u

→+∞ =