PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2006
On considère la suite ( ) u
ndéfinie par :
0
1
u = et
12 9
, 5
n
n n
n u u
+
u +
∀ ∈ ` = +
Démontrer par récurrence que la suite ( ) u
nest bornée par 0 et 2.
(on commencera par montrer : ∀ ∈ n ` , 0 u
n≥ ).
Analyse
Dans cet exercice, on cherche en fait à montrer : ∀ ∈n `, 0≤un≤2.
Dans un premier temps, une récurrence standard permet d’établir la première inégalité ainsi que suggéré dans l’énoncé. La deuxième ne nécessite pas tant de travail …
Résolution
Comme suggéré par l’énoncé, considérons la proposition : Pn « 0≤un ».
Pour n=0, on a : u0=1 qui est bien un nombre positif.
P0 est donc vraie.
Soit maintenant un entier naturel n quelconque fixé. On suppose que Pn est vraie, c'est-à-dire que l’on a : 0≤un.
On a alors : 2un+ ≥9 9 et un+ ≥5 5.
1
un+ est ainsi le rapport de deux nombres strictement positifs, c’est un nombre positif.
La proposition Pn+1 est donc vraie.
On a bien : ∀ ∈n `, un≥0.
Considérons alors la proposition Qn « un≤2 ».
Pour n=0, on a : u0=1 qui est bien inférieur à 2.
P0 est donc vraie.
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2006
Soit maintenant un entier naturel n quelconque fixé . On suppose que Qn est vraie.
On a alors :
( ) ( )
1
2 5 2 9
2 9 1
2 2
5 5 5
n n
n n
n n n
u u
u u
u u u
+
+ − +
− = − + = =
+ + +
Or, pour tout entier naturel n, on a un≥0. La différence 2−un+1 est donc positive et on en déduit : un+1≤2 (on remarque que l’on n’a pas utilisé l’hypothèse de récurrence à proprement parler).
La proposition Qn+1 est donc vraie et on a, finalement : , 2n
n u
∀ ∈` ≤
Des deux résultats précédents, on tire :
, 0 n 2
n u
∀ ∈` ≤ ≤ La suite
( )
un est bien bornée par 0 et 2.Résultat final
La suite
( )
un définie par : u0 =1 et 2 9, 5
n n
n
n u u u
∀ ∈ = +
` + , est bornée par 0 et 2.
