Corrigé du DS du 02/04/19
Exercice 1 :
1. Le nombre 0,6 signifie que l’agence X conserve 60 % de ses fonds.
Le nombre 3 signifie que chaque année le siège de la banque transfère 3 millions d’euros à l’agence Y.
2. = 5010.
= + = 0,6 0,150,2 0,4 50 10 + 1
3 = 31,5 14 + 1
3 = 32,5 17
Les agences X et Y détiennent respectivement 32,5 et 17 millions d’euros en 2020.
3. On note = 0,3 00 0,7 , = 1 3
−2 2 et = 0,25 −0,3750,25 0,125 . a. = 1 3−2 2 0,3 0
0 0,7 0,25 −0,375
0,25 0,125 = 0,3 2,1
−0,6 1,4 0,25 −0,375
0,25 0,125 = 0,6 0,15 0,2 0,4 = . Ainsi = .
b. = 1 00 1 = . On en déduit que et sont inversibles et inverse l’une de l’autre.
c. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel , = . = et = = = : donc la propriété est initialisée.
On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier naturel et on montre qu’elle est vraie au rang + 1 :
= × = × × × ×× = × × × !!!!
"#$% × = : d’où l’hérédité.
La propriété est initialisée pour = 0 et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel . d. Pour tout entier naturel , = = 1 3−2 2 &0,3 0
0 0,7' 0,25 −0,3750,25 0,125
= & 0,3 3 × 0,7
−2 × 0,3 2 × 0,7' 0,25 −0,3750,25 0,125 = &0,25 × 0,3+ 0,75 × 0,7 0,375(−0,3+ 0,7) 0,5(−0,3+ 0,7) 0,75 × 0,3+ 0,25 × 0,7' 4. a. Pour tout entier naturel , * = − +5
,
-. = + − +5
,
-. = /*+ +5
,
-.0 + − +5
, -.
= *+ 0,6 0,150,2 0,4 / 205
30 + 13 − /5 20
30 = *+ /4 11
30 + 13 − /5 20
30 = *. Ainsi * = *.
b. *= − +5
,
-. = 5010 − +
,5
-. = +45
- .
On montre ensuite par récurrence que, pour tout entier naturel ,*= * : Notons () : « *= * »
*= × *= * : donc (0) est vraie.
On suppose que () est vraie pour un certain entier naturel , et on montre que ( + 1) est vraie :
* = *= × *= * d’où l’hérédité.
On en déduit que : pour tout entier naturel , *= *.
5. a. * = *= &0,25 × 0,3+ 0,75 × 0,7 0,375(−0,3+ 0,7)
0,5(−0,3+ 0,7) 0,75 × 0,3+ 0,25 × 0,7' +45
-.
= +45(0,25 × 0,3+ 0,75 × 0,7) +10
3 × 0,375(−0,3+ 0,7)
∗ .
= 11,25(0,3+ 3 × 0,7) + 1,25(−0,3+ 0,7)
∗ = 10 × 0,3+ 35 × 0,7
∗
b. = *+ +5
,
-. = 10 × 0,3+ 35 × 0,7
∗ + 5∗ = 10 × 0,3+ 35 × 0,7+ 5
∗
On en déduit que 3= 10 × 0,3+ 35 × 0,7+ 5.
c. −1 < 0,3 < 1 et −1 < 0,7 < 1 donc les limites de 0,3 et 0,7 est égales à 0.
Conclusion : la limite de 3 quand tend vers +∞ est égale à 5.
Dans le cadre du problème, cela signifie que la quantité de fonds détenue par l’agence A se rapproche au fil des années de 5 millions d’euros.
Exercice 2 :
Partie A : nombres triangulaires et carrés d’entiers
1. 36 = 4 × 9 =6×7, = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 = 6, donc 36 est un nombre triangulaire, et il est aussi le carré d’un entier.
2. a. 1 + 2 + ⋯ + est le carré d’un entier si et seulement s’il existe un entier naturel : tel que 1 + 2 + ⋯ + = :,⇔( + 1)
2 = :,⇔ ( + 1) = 2:,⇔ ,+ − 2:,= 0.
b. (2 + 1),− 8:,= 1 ⇔ 4,+ 4 + 1 − 8:,= 1 ⇔ 4,+ 4 − 8:,= 0
⇔ ,+ − 2:,= 0
Or, on a montré que 1 + 2 + ⋯ + est le carré d’un entier
⇔ s’il existe un entier naturel : tel que ,+ − 2:, = 0
Par équivalence, on en déduit que le nombre 1 + 2 + ⋯ + est le carré d’un entier si et seulement s’il existe un entier naturel : tel que : (2 + 1),− 8:, = 1.
Partie B : étude de l’équation diophantienne associée 1. On trouve assez facilement les deux couples (1 ;0) et (3 ;1).
2. Si un couple d’entiers naturels non nuls (3; =) est solution de (E), alors 3,− 8=,= 1 C’est-à-dire 3⏟
?× 3 + (−8=)
@
× = = 1
Il existe alors un couple d’entiers relatifs (A; B) tel que A3 + B= = 1.
D’après le théorème de Bézout, les nombres 3 et = sont premiers entre eux.
Partie C : lien avec le calcul matriciel
1. &3′=′' = 3
= ⇔ &3′
=′' = 3 8 1 3 3
= = &33 + 8=
3 + 3= ' ⇔ &3′
=′' = &33 + 8=
3 + 3= ' ⇔ D3E= 33 + 8=
=E= 3 + 3=
2. 3 × 3 − 8 × 1 = 1 ≠ 0 donc est inversible et G = 3 −8−1 3 = 3 −8
−1 3
&3′=′' = 3
= ⇔ 3
= = G &3′=′' = 3 −8
−1 3 &3′
=′' = &33E− 8=′
−3E+ 3=′' ⇔ D3 = 33E− 8=′
= = −3′ + 3=′
3. (3; =) est solution de (E) ⇔3,− 8=,= 1 ⇔(33E− 8=′),− 8(−3′ + 3=′), = 1
⇔93E,− 483E=E+ 64=E,− 8(3E,− 63E=E+ 93E,) = 1
⇔93E,− 483E=E+ 64=E,− 83E,+ 483E=E− 72=E, = 1
⇔3E,− 8=E, = 1
⇔(3′; =′) est solution de (E)
4. Initialisation : le couple (3; =) = (3; 1) est solution de (E) d’après la question B.1.
Hérédité : supposons que, pour un certain , (3; =) est solution de (E) et montrons que (3 ; = ) est solution de (E)
D’après la question 3., si (3; =) est solution de (E), alors le couple (3′; =′) tel que &3′=′' = 3
= est aussi solution de (E).
On sait que (3; =) est solution de (E) donc le couple (3 ; = ) tel que 3
= = 3
= est aussi solution de (E), d’où l’hérédité.
Conclusion : pour tout entier naturel , le couple (3; =) est solution de (E).
Partie D : retour au problème initial (bonus)
On cherche un nombre triangulaire supérieur à 2 019 donc un entier naturel tel que ( + 1)
2 > 2019 Or ( + 1)
2 > 2019 ⇔ ,+ − 4038 > 0
Les racines de ce trinôme donnent environ −64,05 et 63,05.
On cherche donc un entier naturel supérieur ou égal à 64.
D’après la partie A, 1 + 2 + ⋯ + est le carré d’un entier si et seulement s’il existe un entier naturel : tel que : (2 + 1),− 8:,= 1 autrement dit :
1 + 2 + ⋯ + est le carré d’un entier si et seulement si 2 + 1 est solution de (E).
≥ 64 ⇔ 2 + 1 ≥ 129
On calcule les premiers termes de la suite 3 de la partie C, on s’arrête dès que le terme dépasse 129…
3 81 3 3
1 = 17 6 3 81 3 17
6 = 99 35 3 81 3 99
35 = LMM
3-= 577 = 2 + 1204 ainsi = 288 ( + 1)
2 =288 × 289
2 = 41 616 = 204,
Le premier nombre triangulaire supérieur à 2 019 qui est aussi le carré d’un entier est 41 616.
