Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

CORRECTION TYPE BAC III POUR LE MARDI 24 MARS

III. ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2016.

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O i j ) .

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

n

définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par f

n

(x ) e

^−(n−1)x

1+ e

^x

On désigne par C

n

la courbe représentative de f

n

dans le repère ( O i j ) . On a représenté ci-contre les courbes C

_n

pour différentes valeurs de n.

Soit la suite ( ) ^u

ⁿ

définie pour tout entier naturel n par u

n

 

0

1

f

n

( x)dx.don Partie A - Étude graphique

1. u

n

est l aire sous la courbe C

n

entre les droites d équations x 0 et x 1.

Plus n augmente, plus la courbe est "basse" donc plus le domaine est petit. On peut donc conjecturer que la suite ( ) ^u

ⁿ

est décroissante.

2. u

₄

est l aire sous la courbe C

₄

entre les droites d équations x 0 et x 1. On peut compter les carreaux. Sur le schéma, C

₄

est l aire de la partie sous la courbe bleue. Elle est donc comprise entre l aire de la partie grise et l aire sous la courbe rouge.

Attention 1 unité d aire 10 10 carreaux donc 1 carreau 0,01 u.a.

Pour avoir un encadrement d amplitude 0,05, il faut donc avoir un encadrement en carreaux d amplitude 5 carreaux. En comptant les carreaux, on peut estimer qu il y a entre 12 et 17 carreaux (entre l aire de la partie grise et l aire de la partie sous la courbe rouge) et donc que 0,12 u

₄

0,17.

Partie B - Étude théorique 1. u

0

 



0

1

e

^x

( 1 e

^x

) dx e

^x

1 e

^x

est de la forme u

u avec u (x ) 1 e

^x

. Une primitive de u u est ln(u). Alors une primitive de e

^x

1 e

^x

est ln ( ^{1 e}

^x

) ^.

u

0

 

  ln ( ^{1 e}

^x

)

0 1

ln ( ^{1 e}

¹

) ^ln ( ^{1 e}

⁰

) ^{ln(1 e) ln(2) ln} _ ^{ 1+e} _ ^

2 . Car ln( a ) ln(b ) ln

 

  a b 2. u

0

u

1

 



0

1

e

^x

( 1 e

^x

) dx   

0

1

e

⁰

( 1 e

^x

) dx   

0

1

e

^x

1

( 1 e

^x

) dx  

0 1

1dx

 

  x

0 1

1 0 1 Attention, on ne peut pas calculer directement u

1

car on ne peut pas trouver de primitive.

On a u

0

ln

 

  1 e

2 et u

0

u

1

1 donc u

1

1 ln

 

  1 e

2 . 3. Soit n . u

n

 

0

1

e

^{(n 1)x}

1 e

^x

dx.

Pour tout x de [0 1], e

^{(n 1)x}

0 et 1 e

^x

0 car une exponentielle est toujours positive donc e

^−(n−1)x

1+ e

^x

0 et donc u

n

0 car l intégrale d une fonction positive est positive.

4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, d

_n

( x) f

_n+1

(x)− fn ( x).

a. Soit n et x . d

_n

( x) e

^nx

1 e

^x

e

^{(n 1)x}

1 e

^x

e

^nx

e

^{(n 1)x}

1 e

^x

e

^nx

e

^{nx x}

1 e

^x

e

^nx

( ^{1 e}

^x

)

1 e

^x

Ainsi, pour tout nombre réel x, d

n

(x) e

^−nx

1−e

^x

1+e

^x

b. Pour tout n de et pour tout x de [0 1] : e

^nx

0 et 1 e

^x

0

On étudie le signe de 1 e

^x

: 1 e

^x

0  1 e

^x

 0 x On peut donc construire le tableau :

x 0 1 e

^nx

1 e

^x

1 e

^x

d

_n

( x)

Pour tout n de et pour tout x de [0 1], d

n

( x) 0.

5. Alors  

0

1

d

n

( x)dx 0.

Or  

0

1

d

n

(x )dx  

0

1

f

n 1

( x) f

n

(x )dx  

0

1

f

n 1

xdx  

0

1

f

n

(x )dx u

n 1

u

n

On a donc, pour tout n de , u

n 1

u

n

0. La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc décroissante. Or on a montré dans la question 3 que, pour tout n de , u

n

0. La suite ( ) ^u

ⁿ

est décroissante et minorée par 0 donc elle converge.

6.

On note ℓ la limite de la suite ( ) ^u

n

.

a. Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

u

n

u

n 1

 

0

1

f

n

(x )dx  

0

1

f

n 1

(x)dx  

0

1

f

n

(x ) f

n 1

( x)dx u

n

u

n 1

 

0

1

e

^{(n 1)x}

e

^nx

1 e

^x

dx

 

0

1

e

^{nx x}

e

^nx

1 e

^x

dx

 



0

1

e

^nx

( e

^x

1 )

1 e

^x

dx  

0

1

e

^nx

dx on a factorisé le numérateur en utilisant e

^{nx x}

e

^nx

e

^x)

puis on a simplifié par e

^x

1 qui est égal à 1 e

^x

.

On cherche une primitive de e

^nx

. On essaie de faire apparaître la forme u e

^u

avec u (x ) n x et donc u ( x) n. On a e

^nx

1

n ( − n e

^−nx

) donc une primitive de e

^nx

est 1

n e

^nx

. Alors u

n

u

n 1

 

  1

n e

^nx

0

1

1

n e

ⁿ

1

n e

⁰

e

ⁿ

n

1 n

1− e

⁻ⁿ

n .

b. Cherchons la limite des deux membres de l égalité obtenue précédemment : D une part, lim

n

u

_n

ℓ donc lim

n

u

_{n 1}

ℓ et donc lim

n

( ^u

n

u

_{n 1}

) 2ℓ

D autre part, lim

n

e

ⁿ

lim

n

1

e

ⁿ

0 donc lim

n

( 1 e

ⁿ

) 1 et donc lim

n

1− e

⁻ⁿ

n 0

D après la question a, on a alors 2ℓ 0 et donc ℓ 0.