Remarque préalable : N est un entier naturel donc

Correction du N°60 page 31 Partie A

Remarque préalable : N est un entier naturel donc ² − ² ≥ 0 et donc ≥

a) Si a et b étaient de même parité alors leurs carrés aussi et donc leur différence serait paire ce qui contredit « N impair »

Pour plus de rigueur, on peut utiliser les congruences :

1^er cas : a et b sont tous les deux pairs donc ≡ 0[2] et ≡ 0[2] donc ² ≡ 0[2] et ² ≡ 0[2] ce qui donne enfin

² − ² ≡ 0[2]

2^ème cas : a et b sont tous les deux impairs donc ≡ 1[2] et ≡ 1[2] donc ² ≡ 1[2] et ² ≡ 1[2] ce qui donne enfin ² − ² ≡ 0[2]

Les deux cas contredisent l’hypothèse « N impair »

Remarque : On peut utiliser directement le fait que la somme et la différence de deux entiers de même parité sont des nombres entiers pairs, ce qui est bien plus rapide.

b) On obtient la réponse de façon immédiate par factorisation : = ² − ² = ( − )

∈ℕ

( +

∈ℕ

) = ×

c) a et b étant de parités contraires, leur somme et leur différence sont impaires et donc p et q sont impairs (peut se démontrer comme au a) à l’aide des congruences).

Partie B

1) Les restes possibles dans la DE par 9 sont 0, 1, 2 ,…, 8 car le reste est un entier naturel inférieur à 9 :

Reste de X modulo 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Reste de X² modulo 9 0 1 4 0 7 7 0 4 1

Il suffit ensuite d’utiliser la règle : ≡ [9] ⇒ ² ≡ [9]

Exemple : si ≡ 4[9] alors ² ≡ 16[9] ≡ 7[9] car 16 = 9 + 7

a) 250 507 = 9 × 27 834 + 1 ≡ 1[9] donc ² − 250 507 ≡ ² − 1[9]

Or, d’après le tableau précédent ² ≡ 0 ou 1 ou 4 ou 7 [9] et donc ² − 1 ≡ −1[9] ≡ 8[9] ou ² − 1 ≡ 0[9] ou

² − 1 ≡ 3[9] ou encore ² − 1 ≡ 6[9]

Sachant que ² − 250 507 = ², le seul reste compatible, d’après le tableau, est 0 (en effet 3, 6 ou 8 ne font pas partie des restes possibles)

Conclusion : ² − 1 ≡ 0[9] ce qui donne ² ≡ 1[9]

b) D’après le tableau, ² ≡ 1[9] lorsque ≡ 1[9] ou ≡ 8[9]

2) a) Si le couple (; ) vérifie la relation (E), alors ² − 250 507 = ² ≥ 0 et donc ² ≥ 250 507 ce qui donne ≥ )250 507 et donc ≥ 501

b) On trouve 505 ≡ 1[9] et c’est le plus petit entier ≥ 501 vérifiant cette propriété.

c) Exemple d’algorithme :

Entrée : prend la valeur 496 (plus grand entier congru à 1 modulo 9 directement inférieur à 501) Traitement : Tant que ≠ +,-() (c’est-à-dire tant que n’est pas un entier)

prend la valeur + 9 (pour garder un entier congru à 1 modulo 9) prend la valeur )² − 250 507

Fin du tant que Sortie : Afficher et d) On obtient 514 et 117.

e) D’après la question précédente :

514² − 250 507 = 117² et donc 250 507 = 514² − 117² = (514 − 117)(514 + 117) = 397 × 631

Correction du N°61 page 31

1)a) Pour tout entier naturel ., 2^/0 = (2^/)⁰= 8⁰. Or 8 ≡ 1[7]donc 8⁰≡ 1⁰[7] ≡ 1[7]

Finalement, pout tout entier naturel k, 2^/0 ≡ 1[7]

b) 2009 = 3 × 669 + 2 donc 2⁴⁴⁵= 2^/×6657= 4 × 2^/×665≡ 4 × 1[7] ≡ 4[7]

Comme 0 ≤ 4 < 7, le reste de la DE de 2⁴⁴⁵ par 7 est 4.

2)a) 10^/= 7 × 142 + 6 ≡ 6[7] ≡ −1[7]

b) = × 10^/+ ≡ × (−1) + [7] ≡ − [7]

On cherche les entiers divisibles par 7 : il faut donc que − ≡ 0[7] et donc ≡ [7]

Ce qui donne : = ou bien = + 7 ou encore = + 7

Le premier cas donne les solutions : 1 001, 2 002, 3 003, … 8 008 et 9 009 Le deuxième cas : 7 000, 8 001 et 9 002

Le troisième cas : 1 008 et 2 009