MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit n un entier naturel. On note R
n[X] le R-espace vectoriel formé par le polynome nul et les polynomes à coecients réels de degrés inférieurs ou égaux à n .
On dénit un endomorphisme u de R
n[X] en posant u(P ) =
n
X
j=0
X
jZ
10
t
jP(t)dt
1. Montrer que si P ∈ ker u alors
Z
1 0P (t)Q(t)dt = 0
pour tout polynome Q dans R
n[X ] . Que peut-on en déduire pour ker u ? 2. Former la matrice de u dans la base (1, X, · · · , X
n) . Est-elle inversible ?
Corrigé
1. Si P ∈ ker u alors tous les coecients du polynôme u(P) sont nuls. On en déduit que, pour tous les j entre 0 et n :
Z
1 0t
jP(t)dt = 0
En combinant linéairement ces relations, on en déduit que
Z
1 0Q(t)P (t)dt = 0
pour n'importe quel polynome Q de degré inférieur ou égal à n . Ceci est vrai en particulier pour P lui même. Comme t → P ˜ (t)
2est une fonction continue et à valeurs positives,
Z
1 0P
2(t)dt = 0 entraine que P = 0 .
2. Soit M la matrice de u dans la base (1, X, · · · , X
n) Avant même de la former on sait qu'elle est inversible puisque u est bijective car son noyau se réduit au polynome nul.
m
i,j= Z
10
t
i−1t
j−1= 1 i + j − 1
M =
1
12· · ·
n+111 2
1 1 3 3
...
1 n+1
1
n+2
· · ·
2n+11
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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