Pour un entier p premier, on note M

(1)

UNIVERSIT´ E PARIS DIDEROT Ann´ ee 2010-2011,

M1MME-Algorithmique

Contrˆ ole du 1/12/2010 (dur´ ee : 2 heures)

I

Pour un entier p premier, on note M

_p

le nombre de Mersenne d’indice p : M

_p

= 2

^p

−1.

Le r´ esidu de Lucas-Lehmer du nombre premier p est le terme d’indice p − 2 de la suite u d´ efinie par : u

₀

= 4, et pour k positif, u

_k+1

est le reste de la division euclidienne de u

²_k

− 2 par M

_p

.

1. Ecrire une fonction python LucasLemher(p) qui retourne le r´ esidu de Lucas- Lemher du nombre premier p.

2. Commentez l’utilisation de la fonction LucasLemher donn´ ee dans l’annexe I.

3. Expliquer ce que font les fonctions python d´ efinies dans l’annexe II.

4. Que vont retourner les commandes GrandMersenne(70) ? GrandMersenne(60)

II

Voici une description du tri ` a bulle trouv´ ee dans Wikipedia :

L’algorithme parcourt le tableau, et compare les couples d’´ el´ ements successifs.

Lorsque deux ´ el´ ements successifs ne sont pas dans l’ordre croissant, ils sont ´ echang´ es.

Apr` es chaque parcours complet du tableau, l’algorithme recommence l’op´ eration. Lors- qu’aucun ´ echange n’a lieu pendant un parcours, cela signifie que le tableau est tri´ e.

On arrˆ ete alors l’algorithme.

1. Ecrire l’algorithme en pseudo-code.

Entr´ ee : une liste l de N entiers, index´ ee de 0 ` a N − 1.

Sortie : la liste tri´ ee.

2. D´ ecrire les diff´ erentes ´ etapes de l’ex´ ecution sur un exemple de petite taille qui vous semble p´ edagogiquement adapt´ e.

3. Etude de complexit´ e : quel est le nombre maximal de comparaisons lors de l’ex´ ecution de l’algorithme ?

III

On veut ´ etudier avec scilab le comportement de deux approximations de la d´ eriv´ ee d’une fonction :

f

⁰

(a) ' DN 1(f, a, h) =

^f(a+h)−f_h ^(a)

,

f

⁰

(a) ' DN 2(f, a, h) =

^f(a+h)−f_2h ^(a−h)

.

(2)

1. Ecrire des fonction scilab : [z] = DN 1(f cn, a, h) et [z] = DN 2(f cn, a, h). Ici f cn est une chaˆıne de carat` eres correspondant au nom de la fonction, a est la variable ou un vecteur de variables (pr´ eciser en commentaire), h est le pas.

2. Quel comportement peut-on esp´ erer mettre en ´ evidence pour les fonctions d’er- reur ? Pouvez-vous justifier math´ ematiquement ?

3. Comment montrer ces comportements ? Quelles commandes scilab pourrait-on utiliser ?

Annexe I

>>> liste=Premiers(70)

>>> liste

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67]

>>> [k for k in liste if LucasLemher(k)==0]

[3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61]

>>> [2**k-1 for k in liste if LucasLemher(k)==0]

[7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647L, 2305843009213693951L]

Annexe II def Mersenne(p):

return 2**p-1

def LucasLemherPositif(liste):

retour=[]

for n in liste:

if LucasLemher(n)==0:

retour.append(Mersenne(n)) return retour

def GrandMersenne(N):

liste=Premiers(N) k=len(liste)-1

for k in range(k,0,-1): # incr´ ement ´ egal ` a -1 if LucasLemher(liste[k]==0):

return Mersenne(liste[k])