A382− Achille est fort [*** à la main] Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille

A382− Achille est fort [*** à la main]

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.

Un nombre d’Achille⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.

φ(n) étant la fonction indicatrice de n,c’est à dire le nombre de diviseurs de l’entier n (y compris 1 et lui- même),un nombre d’Achille n est dit « fort » au degré k si les entiers successifs φ(n), φ⁽²⁾(n) = φ(φ(n)),…

…,φ^(k)(n) sont tous des nombres d’Achille.

Q₁ Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Q₂ Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré ≤ 2019.

Q₃ Déterminer les nombres d’Achille forts au troisième degré ≤ 10⁷.

(1)Nota :Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.

Solution proposée par Diophante Q₁ Un nombre





 ^{i r}

1 i

k i

p i

n est puissant si minimum (k₁,k₂,…,kr) ≥ 2.

Si PGCD (k₁,k₂,…,kr ) = 1, l’entier est un nombre d’Achille.

Jusqu’à 5000, les nombres d’Achille sont les suivants :

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (suite A052486 de l’OEIS).

Il y a donc 22 nombres d’Achille ≤ 2019.

Q₂

La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient à partir de la décomposition en facteurs premiers de n :

où chaque p_i désigne un nombre premier et k_i un entier strictement positif

On recherche dans un premier temps les nombres d’Achille n = 2^a3^b < 2019 puis n = 2^a5^b <2019 avec a ≠ b et b≥ 3. On exclut les entiers n = 2^a7^b, 2^a11^b, 2^a13^b…car soit n > 2019 soit les fonctions indicatrices correspondantes font apparaître un nouveau facteur premier 3,5,3..d’exposant 1.

n = 2^a3^b. D’où φ(n) = 2^a3^b-1. L’entier n est fort si a et b – 1 ≥ 2, a ≠ b – 1.

2 solutions possibles : a= 3 et b = 5 donnent n = 1944 et a = 5 et b = 3 donne n = 864 n = 2^a5^b. D’où φ(n) = 2^a+15^b-1. L’entier n est fort si a +1 et b – 1 ≥ 2, a ≠ b – 2.

2 solutions possibles : a = 2 et b = 3 donnent n = 500 et a = 4 et b = 3 donne n = 2000

On recherche ensuite les nombres d’Achille n = de la forme 3^a5^b. D’où φ(n) = 2³3^a-15^b-1. On a nécessairement a – 1 ≥ 2 et b – 1 ≥ 2. D’où n ≥ 3375. Impossible.

Les nombres d’Achille forts au premier degré ≤ 2019 se limitent donc aux quatre entiers 500,864,1994 et 2000. Ce résultat est confirmé par l’OEIS :

A194085 Strong Achilles numbers: Achilles numbers m such that phi(m) is also an Achilles number, where phi(m) denotes Euler's totient function of m.

1

500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773, 30375, 31104, 32000, 33275, 37044, 40500, 49392, 50000, 52488, 55296, 61731, 64827, 67500, 69984, 78608, 80000, 81000, 83349, 84375, 93312, 108000

Q₃

On recherche les nombres d’Achille n de la forme p^aq^b tels que p < q , b ≥ 5, ou p^aq^br^c tels que p < q < r , c ≥ 5.

Avec quatre facteurs premiers les nombres d’Achille sont tous > 10⁷.

1^er cas n = p^aq^b

On a nécessairement q ≤ 17. En effet n = 2²19⁵ < 10⁷ est tel que φ(n) = 2²3²19⁴ est un carré parfait.

On donne successivement à q les valeurs 17,13,11,7,5,3 avec b au moins égal à 5.

D’où la liste des 23 nombres d’Achille forts au troisième degré.

2^ème cas n = p^aq^br^c

Les 9 solutions sont les suivantes :

Il y a donc au total 32 nombres d’Achille forts jusqu’au 3^ème degré.

Référence : liste des nombres d’Achille forts (https://oeis.org/A194085/b194085.txt)