A382− Achille est fort [*** à la main] Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille

A382− Achille est fort [*** à la main]

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.

Un nombre d’Achille⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.

φ(n) étant la fonction indicatrice de n,c’est à dire le nombre de diviseurs de l’entier n (y compris 1 et lui- même),un nombre d’Achille n est dit « fort » au degré k si les entiers successifs φ(n), φ⁽²⁾(n) = φ(φ(n)),…

…,φ^(k)(n) sont tous des nombres d’Achille.

Q₁ Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Q₂ Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré ≤ 2019.

Q₃ Déterminer les nombres d’Achille forts au troisième degré ≤ 10⁷.

(1)Nota :Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.

Solution proposée par Jacques Guitonneau

Q₁

Un nombre d’Achille comprend au minimum deux facteurs premiers. Il faut que tous les coefficients de ces facteurs premiers soient premiers entre eux et supérieurs ou égaux à 2.

Un de ces facteurs doit être élevé au moins à la puissance 3, donc le plus grand facteur premier doit être inférieur à racine(2019/8) soit 15,8, donc 13 est le plus grand facteur premier possible.

En partant de cette valeur de p maximale on obtient les 22 nombres d’Achille suivants :

2000 (5*3 . 2*5) ; 1944 (3*5 .2*3) ; 1800 (5*2. 3*2. 2*3) ; 1568 (2*5 . 7*2) ; 1372(2*2,7*3) ; 1352 (13*2 . 2*3) ; 1323 (7*2. 3*3) ; 1152 (3*2.2*7) ; 1125 (5*3 ;3*2) ; 972 (3*5 ;2*2) ; 968 (11*2.2*3) ; 864

(3*3 .2*4) ; 800 (5*2 ;2*5) ; 675 (5*2 ;2*3) ; 648 (3*4.2*3) ; 500 (5*3 ;2*2) ; 432 (3*3 ;2*4) ; 392 (7*2 ;2*3) ; 288 (3*2.2*3) ; 200 (5*2.2*3) ; 108 (3*3 ;2*2) ; 72 (3*2 ;2*3).

Q₂

Φ(n)= Π (pi-1).pi*(ki-1)

En appliquant cette fonction aux 21 nombres d’Achille précédents, on trouve les nombres d’Achille forts au premier degré inférieurs à 2019 suivants :

2000 (Φ(2000)=800) ; 1944 (Φ(1944)=648) ; 864 (Φ(864)=288) ; 500 (Φ(500)=200).

Q₃

Pour qu’un nombre soit fort au troisième degré, il faut que le plus grand facteur premier p de ce nombre soit au moins à la puissance 5 car à chaque degré p est élevé à une puissance inférieure et qu’à la troisième étape il reste élevé à la puissance 2.

Par construction ce nombre doit aussi avoir un autre facteur élevé au moins au carré.

Le plus grand facteur premier est donc inférieur à racine 5ème de 10*7 /4 soit 19,04.

Cependant le premier nombre testé N=19*5 . 2*2 ne l’est pas car Φ1(N)=19*4 . 3*2 . 2*2 est un carré parfait

En partant de pmax = 19, on trouve les 22 nombres forts au troisième degré suivants : N=17*5 . 2*2 = 5679428 Φ1= 17*4 . 2*5 ; Φ2= 17*3 . 2*8 ; Φ3= 17*2 . 2*11

N=11*5 . 5*2 = 4026275 ; Φ1=11*4 . 5*2 . 2*3 ; Φ2= 11*3 . 5*2 . 2*5 ; Φ3= 11*2 . 5*2 . 2*7 N= 7*5 . 3*3 . 2*2 =1815156 ; Φ1=7*4 . 3*3 . 2*3 ; Φ2=7*3 . 3*3 . 2*4 ; Φ3=7*2 . 3*3 . 2*5 N= 7*5 . 3*3 . 2*3 = 3630312; Φ1=7*4 . 3*3 . 2*4 ; Φ1=7*3 . 3*3 . 2*5 ; Φ1=7*2 . 3*3 . 2*6 N= 7*5 . 3*4 . 2*2 = 5445468; Φ1=7*4 . 3*4 . 2*3 ; Φ1=7*3 . 3*4 . 2*4 ; Φ1=7*2 . 3*4 . 2*5

N= 5*6 . 3*5 = 3796875 ; Φ1=5*5 . 3*4 . 2*3 ; Φ1=5*4 . 3*3 . 2*5 ; Φ1=5*3 . 3*2 . 2*7 N= 5*8 . 2*3 =3125000; Φ1=5*7 . 2*4 ; Φ1=5*6 . 2*5 ; Φ1=5*5 . 2*6

N= 5*7 . 2*6 =5000000; Φ1=5*6 . 2*7 ; Φ1=5*5 . 2*8 ; Φ1=5*4 . 2*9 N= 5*7 . 2*4 =1250000; Φ1=5*6 . 2*5 ; Φ1=5*5 . 2*6 ; Φ1=5*4 . 2*7 N= 5*6 . 2*7 = 2000000; Φ1=5*5 . 2*8 ; Φ1=5*4 . 2*9 ; Φ1=5*3 . 2*10 N= 5*6 . 2*5= 500000; Φ1=5*5 . 2*6 ; Φ1=5*4 . 2*7 ; Φ1=5*3 . 2*8 N= 5*5 . 2*8 =800000; Φ1=5*4 . 2*9 ; Φ1=5*3 . 2*10 ; Φ1=5*2 . 2*11 N= 5*5 . 2*6= 200000; Φ1=5*4 . 2*7 ; Φ1=5*3 . 2*8 ; Φ1=5*2 . 2*9 N= 5*5 . 2*2= 12500; Φ1=5*4 . 2*3 ; Φ1=5*3 . 2*4 ; Φ1=5*2 . 2*5 N= 3*9 . 2*5 = 629856; Φ1=3*8 . 2*5 ; Φ1=3*7 . 2*5 ; Φ1=3*6 . 2*5 N= 3*7 . 2*11=4478976; Φ1=3*6 . 2*11; Φ1=3*5 . 2*11 ; Φ1=3*4 . 2*11 N= 3*6 . 2*13= 5971968; Φ1=3*5 . 2*13 ; Φ1=3*4 . 2*13 ; Φ1=3*3 . 2*13 N= 3*6 . 2*11= 1492992; Φ1=3*5 . 2*11 ; Φ1=3*4 . 2*11 ; Φ1=3*3 . 2*11 N= 3*6 . 2*7 =93312; Φ1=3*5 . 2*7 ; Φ1=3*4 . 2*7 ; Φ1=3*3 . 2*7

N= 3*5 . 2*13=1990656; Φ1=3*4 . 2*13 ; Φ1=3*3 . 2*13 ; Φ1=3*2 . 2*13 N= 3*5 . 2*11=497664; Φ1=3*4 . 2*11 ; Φ1=3*3 . 2*11 ; Φ1=3*2 . 2*11 N= 3*5 . 2*7=31104; Φ1=3*4 . 2*7 ; Φ1=3*3. 2*7 ; Φ1=3*2 . 2*7