A382− Achille est fort Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille

A382− Achille est fort

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.

Un nombre d’Achille⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216

= 6³.

φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler (qui est le nombre d'entiers strictement positifs ≤n et premiers avec n), un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers

successifs φ(n), φ⁽²⁾(n) = φ(φ(n)),… …,φ^(k)(n) sont tous des nombres d’Achille.

Q₁ Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Q₂ Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.

Q₃ Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.

Solution proposée par Patrick Gordon Q₁

Un nombre d’Achilleest un entier dont tous les exposants du développement en facteurs premiers sont > 1 et premiers entre eux dans leur ensemble.

Un nombre d’Achille doit donc avoir au moins 2 facteurs premiers d'exposants >1 et premiers entre eux dans leur ensemble. Le plus petit est 2³3² = 72.

 cas de 2 facteurs premiers d'exposants 2 et 3 On trouve 11 solutions :

72 108 200 392 500 675 968 1125 1323 1352 1372

 cas de 2 facteurs premiers d'exposants 2 et 5 On trouve 4 solutions :

288 800 972 1568

 cas de 2 facteurs premiers d'exposants 3 et 5 On trouve 2 solutions :

864 1944

 cas de 2 facteurs premiers d'exposants 3 et 4 On trouve 3 solutions :

432 648 2000

 cas de 2 facteurs premiers d'exposants 2 et 7 On trouve 1 solution :

1152

Au-delà, avec 2 facteurs premiers, on ne trouve pas de solution.

Dans le cas de 3 facteurs premiers, les plus petits possibles sont 2, 3, 5 et les plus petits exposants >1 et premiers entre eux dans leur ensemble sont 2, 2, 3. La plus petite combinaison est 2³ 3² 5² = 1800. C'est un nombre d'Achille ≤ 2019.

Après vient le triplet d'exposants 2, 3, 3 et le nombre d'Achille 2³ 3³ 5² = 5400, qui dépasse déjà 2019.

On a donc recensé 22 nombres d’Achille ≤ 2019 :

72 108 200 288 392 432 500 648 675 800 864 968 972 1125 1152 1323 1352 1372 1568 1800 1944 2000

Q₂

On sait que, étant donné les facteurs premiers pi de n, on a : (n) = n (1–1/ pi).

Comme (n) < n, il est inutile de chercher des nombres d’Achille forts parmi les plus petits recensés ci-dessus et il vaut mieux commencer par les plus grands.

2000 a pour facteurs 2 et 5, donc(2000) =2000×1/2×4/5 = 800; comme 800 est un nombre d’Achille, 2000 est fort.

1944 a pour facteurs 2 et 3, donc(1944) =1944×1/2×2/3 = 648; comme 648 est un nombre d’Achille, 1944 est fort.

1800 a pour facteurs 2, 3 et 5, donc(1800) =1800×1/2×2/3×4/5 = 480; comme 480 n'est pas un nombre d’Achille, 1800 n'est pas fort.

1568 a pour facteurs 2 et 7, donc(1568) =1568 ×1/2×6/7 = 672; comme 672 n'est pas un nombre d’Achille, 1568 n'est pas fort.

1372 a pour facteurs 2 et 7, donc(1372) =1372 ×1/2×6/7 = 588; comme 588 n'est pas un nombre d’Achille, 1372 n'est pas fort.

1352 a pour facteurs 2 et 13, donc(1352) =1352 ×1/2×12/13 = 624; comme 624 n'est pas un nombre d’Achille, 1352 n'est pas fort.

1323 a pour facteurs 3 et 7, donc(1323) =1323 ×2/3×6/7 = 756; comme 756 n'est pas un nombre d’Achille, 1323 n'est pas fort.

Par la même méthode, on établit :

(1152) = 384, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 1152 n'est pas fort.

(1125) = 600, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 1125 n'est pas fort.

(972) = 324, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 972 n'est pas fort.

(968) = 440, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 968 n'est pas fort.

(864) = 288, qui est un nombre d’Achille, donc 864 est fort.

(800) = 320, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 800 n'est pas fort.

(648) = 216, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 648 n'est pas fort.

(500) = 200, qui est un nombre d’Achille, donc 500 est fort.

(432) = 144, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 432 n'est pas fort.

(392) = 168, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 392 n'est pas fort.

(288) = 96, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 288 n'est pas fort.

(200) = 80, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 200 n'est pas fort.

(108) = 36, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 108 n'est pas fort.

(72) = 24, qui n'est pas un nombre d’Achille, donc 72 n'est pas fort.

Récapitulation

Nous avons trouvé 4 nombres d’Achille forts au premier degré inférieurs ou égaux à 2019 : 500 864 1944 2000

Q₃

Commençons par borner le nombre de facteurs premiers de n. Peut-il en avoir 4 : p, q, r, s avec des exposants a, b, c, d premiers entre eux?

n s'écrirait alors p^aq^br^cs^d et

(n) = p^a-1q^b-1r^c-1s^d-1(p–1) (q–1) (r–1) (s–1)

Il faut à tout le moins que (n) soit puissant. Il faut pour cela en principe que (a–1) (b–1) (c–

1) et (d–1) soient >1, donc a, b, c, d > 2. Le plus petit n de ce type est donc 2^a3^b5^c7^d avec b, c, d = 3 et a = 4 pour que n ne soit pas une puissance parfaite. Soit n = 2⁴3³5³7³ = 18522000 >

10⁷.

Comme toutefois (q–1) (r–1) (s–1) sont pairs et viendront donc augmenter l'exposant de 2, on peut envisager n = 2³3²5²7² et :

(n) = 2²×3×5×7 ×1×2×4×6 = 2⁶×3²×5×7 mais ce n'est pas un nombre d'Achille.

Donc n a au plus 3 facteurs premiers.

 cas des nombres à 2 facteurs premiers

Soit p et q avec des exposants a et b premiers entre eux.

n s'écrit p^aq^b et

(n) = n(p–1) (q–1) / pq

 cas de p = 2

Il faut à tout le moins que (n) soit puissant. Il faut pour cela que (a–1) et (b–1) soient >1, donc a et b > 2, à moins que (p–1) (qui n'est pas premier puisque p l'est) comporte le facteur q ou vice-versa.

o cas de p = 2 et q = 3

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 2^a3^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 2^a3^b-1

À chaque itération, a diminue de 1 au titre du p^a-1 mais augmente de 1 au titre du (q–1) = 2, donc demeure inchangé. Quant à b, il diminue de 1.

On peut donc dresser un tableau des exposants successifs a' b', a" b"… et tâtonner sur a et b.

Exemple

p = 2 q = 3

n a b PGCD

93 312 7 6 1

31 104 7 5 1

10 368 7 4 1

3 456 7 3 1 1 152 7 2 1

384 7 1 1

On ne trouve pas de solution pour a < 7 mais (a, b) = (7, 6) et (7,5) sont solutions au degré 3.

En poursuivant, on relève que a ne peut être divisible ni par 2 ni par 3, car on n'aurait pas de séquence de longueur 3 de b premiers avec a. On passe donc à a = 11. On ne peut avoir de solution au degré 3 que pour b  5, mais dès b = 8 on dépasse n = 10⁷.

Donc (a, b) = (11,5) (11,6) et (11,7) sont solutions au degré 3.

Avec a = 13, il faut que b ≤ 6 pour ne pas dépasser n = 10⁷ et il y a une solution au degré 3 pour b = 5 et 6.

Donc (a, b) = (13,5) et (13,6) sont solutions au degré 3.

Avec a = 17, il faut que b ≤ 3 pour ne pas dépasser n = 10⁷ et il n'y a donc pas de solution au degré 3.

o cas de p = 2 et q = 5

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 2^a5^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 2^a+15^b-1

À chaque itération, a diminue de 1 au titre du p^a-1 mais augmente de 2 au titre du (q–1) = 4, donc augmente de 1. Quant à b, il diminue de 1.

On peut donc dresser un tableau des exposants successifs a' b', a" b"… et tâtonner sur a et b, comme ci-dessus.

Il faut que b  5 car sinon au bout de 3 coups il tombe à 1 au mieux. Il faut que a ≤ 11 car sinon on dépasse n = 10⁷ même avec b au minimum.

On trouve les solutions au degré 3 : (a, b) = (2,5) (5,6) (6,5) (8,5) (7,6) (4,7) (6,7) (3,8) et (2,9).

o cas de p = 2 et q = 7

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 2^a7^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 3×2^a5^b-1

À chaque itération, a est inchangé, b diminue de 1 et (n) est multiplié par 3. Le facteur 3 figure donc dans (n) à la puissance 1 et (n) n'est pas puissant, donc encore moins nombre d'Achille. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 2 et q = 11

On est dans le même cas que précédemment, avec 5 jouant le rôle de 3. Donc (n) est multiplié par 5 à la puissance 1 et n'est donc pas puissant. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 2 et q = 13

Le facteur 3 réapparaît dans (q–1) = 12. Donc (n) est multiplié par 3 à la puissance 1 et n'est donc pas puissant. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 2 et q = 17

Cette fois (q–1) = 2⁴. Donc a augmente de 3 et b diminue de 1 à chaque tour.

Il faut que b  5 pour la raison déjà évoquée.

Pour b = 5, a donne une solution pour a = 2, mais on dépasse 10⁷ dès que a  3 On trouve donc la solution au degré 3 : (a, b) = (2, 5)

Le prochain nombre premier q tel que (q–1) est une puissance de 2 est 257 et b²⁵⁷ dépasse largement 1007, quel que soit b > 1.

Là s'arrête donc la recherche des nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷, de la forme n = 2^aq^b.

Récapitulons-en les enseignements à titre de vérification.

n p q a b PG0 a1 b1 PG1 n1 a2 b2 PG2 n2 a3 b3 PG3 n3

93 312 2 3 7 6 1 7 5 1 31 104 7 4 1 10 368 7 3 1 3 456

31 104 2 3 7 5 1 7 4 1 10 368 7 3 1 3 456 7 2 1 1 152

497 664 2 3 11 5 1 11 4 1 165 888 11 3 1 55 296 11 2 1 18 432 1 492 992 2 3 11 6 1 11 5 1 497 664 11 4 1 165 888 11 3 1 55 296 4 478 976 2 3 11 7 1 11 6 1 1 492 992 11 5 1 497 664 11 4 1 165 888 1 990 656 2 3 13 5 1 13 4 1 663 552 13 3 1 221 184 13 2 1 73 728 5 971 968 2 3 13 6 1 13 5 1 1 990 656 13 4 1 663 552 13 3 1 221 184

12 500 2 5 2 5 1 3 4 1 5 000 4 3 1 2 000 5 2 1 800 500 000 2 5 5 6 1 6 5 1 200 000 7 4 1 80 000 8 3 1 32 000

200 000 2 5 6 5 1 7 4 1 80 000 8 3 1 32 000 9 2 1 12 800

800 000 2 5 8 5 1 9 4 1 320 000 10 3 1 128 000 11 2 1 51 200 2 000 000 2 5 7 6 1 8 5 1 800 000 9 4 1 320 000 10 3 1 128 000 1 250 000 2 5 4 7 1 5 6 1 500 000 6 5 1 200 000 7 4 1 80 000 5 000 000 2 5 6 7 1 7 6 1 2 000 000 8 5 1 800 000 9 4 1 320 000 3 125 000 2 5 3 8 1 4 7 1 1 250 000 5 6 1 500 000 6 5 1 200 000 7 812 500 2 5 2 9 1 3 8 1 3 125 000 4 7 1 1 250 000 5 6 1 500 000 5 679 428 2 17 2 5 1 5 4 1 2 672 672 8 3 1 1 257 728 11 2 1 591 872

On vérifie :

 que les n successifs ne dépassent pas 10⁷,

 que les a et b successifs sont tous 2,

 que les a et b successifs sont premiers entre eux.

 cas de p = 3

Il faut à tout le moins que (n) soit puissant. Il faut pour cela que (a–1) et (b–1) soient >1, donc a et b > 2, à moins que (p–1) (qui n'est pas premier puisque p l'est) comporte le facteur q ou vice-versa.

o cas de p = 3 et q = 5

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 3^a5^b

(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 2³ 3^a-15^b-1

Puis :

^(n) = 2² 3^a-25^b-2 (2–1) (3–1) (5–1) = 2⁵ 3^a-25^b-2

^(n) = 2⁴ 3^a-35^b-3 (2–1) (3–1) (5–1) = 2⁷ 3^a-35^b-3

À chaque itération, a et b diminuent de 1. Un troisième facteur 2^c s'introduit, avec c = 3, 5, 7.

Si l'on tient compte des contraintes :

 ne pas dépasser n = 10⁷,

 a,b,c  2 et premiers entre eux dans leur ensemble aux étapes 0,1,2,3, on trouve les solutions au degré 3 : (a,b) = (5,6) (6,5) (7,5).

o cas de p = 3 et q = 7

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 3^a7^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 2² 3^a7^b-1 Puis :

^(n) = 23^a-17^b-2 (2–1) (3–1) (7–1) = 2³ 3^a 7^b-2

^(n) = 2² 3^a-17^b-3 (2–1) (3–1) (7–1) = 2⁴ 3^a5^b-3

À chaque itération, a est inchangé et b diminue de 1. Un troisième facteur 2^c s'introduit, avec c

= 2,3,4 aux étapes 1,2,3.

Comme dans tous les cas où un exposant va décroissant, il doit partir au moins de 5. C'est le cas ici pour b. Comme a est inchangé, il ne créerait pas de triplet a,b,c non premier dans son ensemble si l'on pouvait aller jusqu'à a = 7. Mais avec a = 7 et b = 5, on a n > 10⁷. Il n'y a donc pas de solution.

o cas de p = 3 et q = 11

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 3^a11^b

(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 2² 3^a-15 11^b-1

On est dans le même cas que plus haut avec (p, q) = (2,11). (n) comporte le facteur 5 à la puissance 1 et n'est donc pas puissant. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 3 et q = 13

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 3^a13^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 3^a-113^b-1×2×12 = 3^a-113^b-1×2³×3 = 2³ 3^a13^b-1 Puis :

^(n) = 2²3^a-113^b-2 (2–1) (3–1) (13–1) = 2²3^a-113^b-2×2×2²×3 = 2⁵ 3^a 13^b-2

^(n) = 2⁴ 3^a-17^b-3 (2–1) (3–1) (13–1) = 2⁴ 3^a-113^b-3×2×2²×3 = 2⁷ 3^a13^b-3

À chaque itération, a est inchangé et b diminue de 1. Un troisième facteur 2^c s'introduit, avec c

= 3,5,7 aux étapes 1,2,3.

Comme dans tous les cas où un exposant va décroissant, il doit partir au moins de 5. C'est le cas ici pour b. On trouve une solution au degré 3 : (a,b) = (2,5)

p = 3 q = 13 r = 2

n a b c PGCD 3 341 637 2 5 0 1 2 056 392 2 4 3 1 632 736 2 3 5 1 194 688 2 2 7 1 o cas de p = 3 et q = 17

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 3^a17^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 3^a-117^b-1 2×2⁴ = 2⁵ 3^a-117^b-1 Puis :

^(n) = 2⁴ 3^a-217^b-2 2×2⁴ = 2⁹3^a-217^b-2

^(n) = 2⁸ 3^a-317^b-3 2×2⁴ = 2¹³ 3^a-35^b-3

À chaque itération, a et b diminuent de 1. Un troisième facteur 2^c s'introduit, avec c = 5,9,13 aux étapes 1,2,3.

Ici encore, a et b doivent démarrer au moins à 5 mais, dans ce cas, sans même parler de la primalité, n dépasse largement 10⁷. Il n'y a donc pas de solution pour (p,q) = (3,17) – et moins encore pour p = 3 et q > 17.

 cas de p = 5

o cas de p = 5 et q = 7

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 5^a7^b

(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 5^a-17^b-1×4×6 = 2³×3×5^a-17^b-1

Le facteur 3 figure dans (n) à la puissance 1 et (n) n'est donc pas puissant, donc encore moins nombre d'Achille. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 5 et q = 11

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 5^a11^b

(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 5^a-111^b-1×4×10 = 2³5^a11^b-1

Puis :

^(n) = 2² 5^a-111^b-2×2²×2×5 = 2⁵5^a11^b-2

^(n) = 2⁴ 5^a-111^b-3×2²×2×5 = 2⁷5^a11^b-3

À chaque itération, a est inchangé et b diminue de 1. Un troisième facteur 2^c s'introduit, avec c

= 3,5,7 aux étapes 1,2,3. Comme précédemment, b doit être  5.

On trouve la solution (a,b) = (2,5) o cas de p = 5 et q = 13

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 5^a13^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 5^a-113^b-1×4×4×3 = 2⁴ 3×5^a-113^b-1

Le facteur 3 figure dans (n) à la puissance 1 et (n) n'est donc pas puissant, donc encore moins nombre d'Achille. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 5 et q = 17

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 5^a17^b

(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 5^a-117^b-1×4×16 = 2⁶ 5^a-117^b-1

Puis :

^(n) = 2⁵ 5^a-217^b-2×4×16 = 2¹¹5^a-217^b-2

^(n) = 2¹⁰ 5^a-317^b-3×4×16 = 2¹⁶5^a-317^b-3

À chaque itération, a et b diminuent de 1. Un troisième facteur 2^c s'introduit, avec c = 6, 11, 16 aux étapes 1,2,3. Comme précédemment, a et b doivent être  5. Même avec a = b = 5 (exclus par ailleurs) n dépasse largement 10⁷. Il n'y a pas de solution pour p = 5, q = 17 et a fortiori pour p = 5, q > 17.

 cas de p = 7

o cas de p = 7 et q = 11

np^aq^b (a et b premiers entre eux) 7^a11^b



(n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1) = 7^a-111^b-1×6×10 = 2² ×3 ×5×7^a-111^b-1 Puis :

^(n) = 2×7^a-211^b-2×2×2²×2×2×3×5 = 2⁶×3×5×7^a-211^b-2

À chaque itération, a et b diminuent de 1, donc doivent partir de 5 au minimum, soit 4 à l'étape 2. Trois nouveaux facteurs s'introduisent, avec 2⁶×3×5 = 960 à l'étape 2. Soit à l'étape 2 un minimum de 7⁴ × 11⁴ × 960 = 33 746 919 360, qui dépasse très largement 10⁷.

Il n'y a donc pas de solution pour p = 7 et q = 11. On peut démontrer qu'il n'y en a pas pour p

= 7 et q > 11 ni, tout simplement, pour p > 7.

En effet, on a vu que, quand on passe de n à (n),^(n)… l'exposant a de p peut rester inchangé ou augmenter mais que l'exposant b de q ne peut que diminuer de 1. La raison est que nous avons toujours présenté les facteurs premiers p et q dans l'ordre p < q. Ainsi, dans la formule (n) = p^a-1q^b-1 (p–1) (q–1), le nombre (q–1) peut comporter le facteur p et venir augmenter l'exposant de p, mais pas l'inverse car (p–1), qui est <q, ne saurait comporter le facteur q.

Le plus petit nombre n = p^aq^b susceptible d'être solution est donc obtenu quand a est à son minimum de 2 (et reste inchangé jusqu'au degré 3) et b à son minimum de 5 (pour ne pas descendre au-dessous de 2 au degré 3)

Or 7²q⁵ avec q premier et >7 dépasse 10⁷ dès que q > 11 et p²q⁵ avec p > 7 et q quelconque >

p dépasse 10⁷.

La partie cas des nombres n à 2 facteurs premiers s'arrête donc ici.

Récapitulation

Pour p = 3, 5, 7 nous avons trouvé 5 solutions :

n p q a b

3 796 875 3 5 5 6 2 278 125 3 5 6 5 6 834 375 3 5 7 5 3 341 637 3 13 2 5 4 026 275 5 11 2 5

 cas des nombres à 3 facteurs premiers

Soit p q et r avec des exposants a b et c premiers entre eux dans leur ensemble (nota : "c" n'a pas le même sens que ci-dessus).

 cas de p = 2, q = 3

o cas de p = 2, q = 3 et r = 5

np^aq^br^c (a b c premiers entre eux)  2^a3^b5^c



(n) = p^a-1q^b-1r^c-1 (p–1) (q–1) (r–1) = 2^a-13^b-15^c-1×2×4 = 2^a+23^b-15^c-1 Puis :

^(n) = 2^a+13^b-25^c-2×2×4 = 2^a+43^b-25^c-2

À chaque itération, a augmente de 2. Quant à b et c, ils diminuent de 1.

On trouve les solutions : (a,b,c) = (2,6,5) et (3,5,5).

p = 2 q = 3 r = 5

n a b c PGCD 9 112 500 2 6 5 1 2 430 000 4 5 4 1 648 000 6 4 3 1 172 800 8 3 2 1

o cas de p = 2, q = 3 et r = 7

np^aq^br^c (a b c premiers entre eux)  2^a3^b7^c



(n) = p^a-1q^b-1r^c-1 (p–1) (q–1) (r–1) = 2^a-13^b-17^c-1×2×6 = 2^a+13^b7^c-1 Puis :

^(n) = 2^a3^b-17^c-2×2×6 = 2^a+23^b7^c-2

À chaque itération, a augmente de 1, b est inchangé et c diminue de 1.

On trouve les solutions : (a,b,c) = (2,2,5) (2,3,5) (2,4,5) (3,2,6) (3,3,5) (4,2,5) (6,2,5) Exemple

p = 2 q = 3 r = 7

n a b c PGCD 2 420 208 4 2 5 1 691 488 5 2 4 1 197 568 6 2 3 1 56 448 7 2 2 1 o cas de p = 2, q = 3 et r = 11

np^aq^br^c (a b c premiers entre eux)  2^a3^b11^c

(n) = p^a-1q^b-1r^c-1 (p–1) (q–1) (r–1) = 2^a-13^b-111^c-1×2×10 = 5×2^a+13^b-111^c-1

Le facteur 5 figure à la puissance 1 dans (n), qui n'est donc pas puissant. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 2, q = 3 et r = 13

np^aq^br^c (a b c premiers entre eux)  2^a3^b13^c



(n) = p^a-1q^b-1r^c-1 (p–1) (q–1) (r–1) = 2^a-13^b-113^c-1×2×12 = 2^a+23^b13^c-1

À chaque itération, a augmente de 2, b est inchangé et c diminue de 1. Même avec les valeurs minimales de a, b, c, n dépasse 10⁷. Il n'y a pas de solution.

 cas de p = 2, q = 5

o cas de p = 2, q = 5 et r = 7

Le facteur 3 figure à la puissance 1 dans (n), qui n'est donc pas puissant. Il n'y a pas de solution.

o cas de p = 2, q = 5 et r = 11

np^aq^br^c (a b c premiers entre eux)  2^a5^b11^c



(n) = p^a-1q^b-1r^c-1 (p–1) (q–1) (r–1) = 2^a-15^b-111^c-1×4×10 = 2^a+25^b11^c-1

À chaque itération, a augmente de 2, b est inchangé et c diminue de 1. Même avec les valeurs minimales de a, b, c, n dépasse 10⁷. Il n'y a pas de solution.

Les nombres devenant élevés, nous en resterons là de notre recherche et conclurons par une récapitulation générale.

Récapitulation générale

Nous avons trouvé 31 solutions :

n p q r a b c 93 312 2 3 7 6 31 104 2 3 7 5 497 664 2 3 11 5 1 492 992 2 3 11 6 4 478 976 2 3 11 7 1 990 656 2 3 13 5 5 971 968 2 3 13 6 12 500 2 5 2 5 500 000 2 5 5 6 200 000 2 5 6 5 800 000 2 5 8 5 2 000 000 2 5 7 6 1 250 000 2 5 4 7 5 000 000 2 5 6 7 3 125 000 2 5 3 8 7 812 500 2 5 2 9 5 679 428 2 17 2 5 3 796 875 3 5 5 6 2 278 125 3 5 6 5 6 834 375 3 5 7 5 3 341 637 3 13 2 5 4 026 275 5 11 2 5 9 112 500 2 3 5 2 6 5 6 075 000 2 3 5 3 5 5 605 052 2 3 7 2 2 5 1 815 156 2 3 7 2 3 5 5 445 468 2 3 7 2 4 5 8 470 728 2 3 7 3 2 6 3 630 312 2 3 7 3 3 5 2 420 208 2 3 7 4 2 5 9 680 832 2 3 7 6 2 5