Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille est un entier puissant sans être une puissance parfaite.
Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.
φ(n) étant la fonction indicatrice de n, c’est à dire le nombre de diviseurs de l’entier n (y compris 1 et lui-même),un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n) = φ(φ(n)),… …,φ(k)(n) sont tous des nombres d’Achille.
Q₁ Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.
Q₂ Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.
Q₃ Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 107
Q1 : On peut construire les nombres d’Achille inférieurs à 2019 : 72, 108, 200, 288, 392, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1152, 1323, 1352, 1568, 1800, 1944, 2000, avec les facteurs 4, 8, 16, 32, 64, 128 ; 9, 27, 81, 243 ; 25, 125 ; 49, 343 ; 121 ; 169.
Notons que seul 1800=23*32*52 a plus de deux facteurs premiers distincts.
Q2 : Pour p premier φ(pk)=(p-1)pk-1: pour p=3, p-1=2 et pour p=5, p-1=22, donc φ(2i*3j)=2i*3j-1 et φ(2i*5j)=2i+1*5j-1. Nous avons ainsi
φ(500)= φ(22*53)=23*52=200 ; φ(864)= φ(25*33)=25*32=288 ; φ(1944)=φ(23*35)=23*34=648 ; φ(2000)= φ(24*53)=25*52=800
Q3 : Un nombre de la forme 2i *3j est fort au 3ème degré si (i, j), (i, j-1), (i, j-2), (i, j-3) sont premiers entre eux, et j-3≥2 : soit 27*35= 31104. Et aussi 27*36=93312, 25*39=629856
De même, un nombre de la forme 2i*5j est fort au 3ème degré si (i, j), (i+1, j-1), (i+2, j-2) et (i+3, j-3) sont premiers entre eux, et j-3≥2 soit 22*55=12500,
26*55=200000 et 24*57=1250000.
