Université Bordeaux 1 MHT531 – Licence
Mathématiques Année 2010–2011
FEUILLE D’EXERCICES no5 Primalité, factorisation Exercice 1 – [Autour de Pocklington-Lehmer] Rappelons le théorème vu en cours.
Théorème. n > 1 est premier si et seulement si pour tout diviseur premier p de n−1 il existe un entier ap tel que
an−1p ≡1 modn et pgcd(a(n−1)/pp −1, n) = 1.
1) Supposons que n−1 = F U où pgcd(F, U) = 1, F > √
n. Montrer que n est premier si et seulement si pour tout p premier divisant F il existe un entier ap
tel que
an−1p ≡1 mod n et pgcd(a(n−1)/pp −1, n) = 1.
2) Supposons que n − 1 = F U où pgcd(F, U) = 1. Supposons que tous les diviseurs premiers de U sont > B avec BF > √
n. Montrer que n est premier si et seulement si
• pour tout diviseur premier p deF il existe un entierap tel que an−1p ≡1 mod n et pgcd(a(n−1)/pp −1, n) = 1,
• et il existe un entier a tel que
an−1 ≡1 modn et pgcd(aF −1, n) = 1.
Exercice 2 – [Dixon]
On considère l’exemple suivant :
n = 30167et B={−1,2,7,11,17,29,31,37,41,43,53,67}.
1) Calculer modulo n les carrés de 150, 156, 158, 167, 168, 172, 173, 178, 180, 184, 187, 191, 201 et les décomposer sur la base B.
2) Factoriser n.
Exercice 3 – [Méthode ρ de Pollard]
Soitnun nombre entier dont on veut calculer un facteur non trivial. Soitple plus petit facteur premier (inconnu) den. L’idée est de construire une suite “aléatoire”
x1, x2, . . . , xi, . . . d’éléments de Z/nZ, de sorte qu’une collision xi = xj mod p pour i < j permette de trouver un facteur de n donné par (xi−xj, n).
On admettra le résultat suivant, connu sous le nom de paradoxe des anniver- saires : en tirant au hasard des éléments d’un ensemble de cardinalN, on obtient une collision avec probabilité supérieure à 1/2 au bout d’environ √
N tirages, et le nombre moyen de tirages avant une collision est en O(√
N).
1)Estimez le nombre de termes de la suite et le nombre de pgcd à calculer avant de trouver un facteur de n.
2)On choisit de définir la suitexi par la donnée dex1 et la formule de récurrence xi+1 =P(xi), oùP ∈Z[X]. On suppose que la suite obtenue a un comportement
“aléatoire”.
a) Montrez que
xi =xj mod p=⇒xi+1 =xj+1 modp.
b) En déduire que, si xi = xj mod p avec i < j alors xu = x2u mod p pour un indice u tel que u < j.
c) Comment calculer (xi+1, x2(i+1)) à partir de(xi, x2i)? d) En déduire un algorithme qui nécessite environ √
p calculs de pgcd de nombres entiers naturels 6n pour factoriser n.
3) Factorisez n = 221, puis n= 7171 avecx1 = 1 et P(x) =x2+ 1.
Exercice 4 – [Méthode p−1 de Pollard]
On a vu en cours que la métode p−1 de Pollard peut fournir un diviseur non trivial de n lorsque n admet un diviseur premier p tel que p−1 soit B-friable.
On prend a premier à n (souvent 2 car n est bien sûr impair) et on calcule x = aB!modn puis pgcd(x−1, n) qui est nécessairement > 1 sous l’hypothèse faite sur n. Le test échouera si l’on obtient n, i.e. si x= 1.
1) Tester la méthode avec n = 221. On prendra a = 2 puis on fera varier B.
Même chose avec a = 3.
2) Montrer que l’on peut remplacer dans l’algorithme B! par ppcm(2,3, . . . , B) = Y
ppremier6B pkp6B<pkp+1
pkp.
On démontrera au passage cette dernière égalité.
3) Tester cette nouvelle version avec n= 221 eta= 2 oua= 3.
