On peut le reformuler ainsi : θ ∈ R est un nombre de Pisot si et seulement si θ > 1 et s'il existe P ∈ Z [X ] de coecient dominant 1 tel que

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Problème 1.

Dans ce problème, lorsque P est un polynôme, on notera simplement P (a) le résultat de la substitution de X par a dans P .

Un nombre de Pisot est un nombre réel strictement plus grand que 1 et qui est racine d'un polynôme unitaire de degré au moins 1 , à coecients dans Z et dont toutes les autres racines dans C sont de module strictement plus petit que 1 .

On peut le reformuler ainsi : θ ∈ R est un nombre de Pisot si et seulement si θ > 1 et s'il existe P ∈ Z [X ] de coecient dominant 1 tel que

∀u ∈ C : u 6= θ P (u) = 0

)

⇒ |u| < 1

Partie I. Exemples

On note

θ 0 = ¹ ₂ (1 + √

5) et, pour tout n ∈ N

,

P n = X ⁿ (X ² − X − 1) + X ² − 1

1. En considérant X ² − X − 1 , montrer que θ 0 est un nombre de Pisot.

2. Étude de P ₁ = X ³ − X − 1 .

a. Montrer que P ₁ a une unique racine réelle

, notée θ ₁ et appartenant à ]1, √ 2[ . b. Montrer que θ 1 est un nombre de Pisot.

c. Montrer que _θ

^θ

= 1 + θ 1 + θ ² ₁ . 3. Étude de P 2 = X ⁴ − X ³ − 1 .

a. Former le tableau de variations de la fonction d'une variable réelle associée à P 2 . En déduire que P 2 admet deux racines réelles notées α et θ 2 avec α < θ 2 . Où se placent-elles par rapport à −1 , 0 , 1 ?

b. Montrer que P ₂ (− _θ ¹

2

) est strictement négatif.

c. Montrer que θ 2 est un nombre de Pisot.

4. a. Pour tout n ∈ N

, montrer que P n admet une racine réelle dans ]1, θ 0 [ . On admet qu'elle est unique et que c'est un nombre de Pisot. On le note θ n . b. Calculer puis factoriser le reste de la division de P n+1 par P n en traitant à part

les cas n = 1 et n = 2 . En déduire que (θ n ) _n∈N

est strictement croissante.

c. Montrer que (θ _n ) _n∈

N^∗

converge vers θ ₀ .

1

Ce réel θ

est aussi appelé nombre d'or.

2

Ce réel θ

est appelé aussi nombre d'argent ou nombre plastique.

Partie II. Algorithme d'Euclide.

Soit y 6= 1 un nombre complexe.

1. Calculer la suite, commençant par X ³ − X − 1, X ² − y , des polynômes obtenus par l'algorithme d'Euclide.

2. a. Caractériser de deux manières la propriété : X ³ − X − 1 et X ² − y ont une racine en commun dans C.

b. En déduire que θ ² ₁ est un nombre de Pisot et préciser un polynôme unitaire de Z [X] dont il est la seule racine de module strictement plus grand que 1 .

3. Montrer que θ ³ ₁ est un nombre de Pisot et préciser le polynôme de Z [X ] dont il est la racine de module strictement plus grand que 1 .

Partie III. Puissances presque entières.

Soit a ₁ , a ₂ , a ₃ trois nombres complexes non nuls. On note S ₀ = 3 et, pour tout n non nul dans Z, S _n = a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + a ⁿ ₃ .

Dans cette partie, a ₁ , a ₂ , a ₃ sont les trois racines complexes du polynôme P ₁ = X ³ − X −1 déni en I et le nombre de Pisot θ 1 déni en I.2 et racine de P 1 sera désigné par θ .

1. a. Calculer S 1 , S 2 , S

.

b. Calculer S 3 et montrer que la suite (S n ) _n∈

N

vérie une relation de récurrence à préciser.

2. a. Montrer que, pour tout x réel, | sin x| ≤ |x| . b. Montrer que, pour tout k et n dans N,

sin ² (πθ ^k ) ≤ 4π ² θ ^k ,

n

X

k=0

sin ² (πθ ^k ) ≤ 4π ² θ θ − 1 3. Soit u > 0 . Montrer que la suite Q n

k=0 cos(uθ

n∈N est convergente. Dans toute la n de cette partie, sa limite est notée Γ(u) .

4. Soit n naturel non nul et s 1 , s n , · · · , s n dans ]0, 1[ . Montrer que (1 − s 1 )(1 − s 2 ) · · · (1 − s n ) ≥ 1 − (s 1 + s 2 + · · · + s n ) 5. a. Montrer que Q n

k=0 cos ² (πθ

n∈

converge vers un réel A > 0 . b. Montrer que Q n

k=0 cos ² (πθ ^k

n∈

converge vers un réel B > 0 . c. Montrer que Γ(πθ ^m ) ²

m∈N converge vers AB . En déduire que Γ ne converge pas vers 0 en +∞ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Problème 2.

Dans tout ce problème Q [X ] (respectivement Z [X ] ) désigne l'ensemble des polynômes à une indéterminée, à coecients dans Q (respectivement Z). Ces ensembles sont des anneaux commutatifs pour les lois + et × usuelles sur les polynômes.

Un polynôme Φ de Q [X ] (respectivement Z [X ] ) est dit irréductible sur Q (respectivement Z) s'il n'est ni constant, ni de la forme Φ = P Q avec P , Q dans Q [X] (respectivement Z [X ] ) et deg(P ) ≥ 1 , deg(Q) ≥ 1 .

Partie 1. Exemples.

1. Montrer que les polynômes X ² − X − 1 et X ³ − X − 1 sont irréductibles sur Z.

2. Soit n ∈ N

et a 1 , . . . , a n des entiers relatifs deux à deux distincts. Dénissons Φ par Φ = (X − a 1 ) . . . (X − a n ) − 1

On remarque que Φ ∈ Z [X] . Le but de la question est de montrer qu'il est irréductible sur Z. Supposons qu'il existe P et Q dans Z [X] de degré supérieur ou égal à 1 et vériant Φ = P Q .

a. Montrer que a ₁ , . . . , a _n sont des racines de P + Q . b. En déduire que Φ = −P ² .

c. Conclure.

3. Soit n un entier naturel impair et soient a 1 , . . . , a n des entiers relatifs deux à deux distincts. Montrer que (X − a 1 ) . . . (X − a n ) + 1 est irréductible dans Z.

Partie 2. Lemme de Gauss.

Soit P = P n

k=0 a _k X ^k un polynôme non nul de Z [X ] . On dénit le contenu de P , noté c(P ) par

c(P) = pgcd (a 0 , . . . , a n ) Le polynôme P est dit primitif si c(P ) = 1 .

Soient P et Q dans Z [X ] .

1. On suppose dans cette question que P et Q sont primitifs.

Notons P =

n

P

k=0

a k X ^k , Q =

m

P

k=0

b k X ^k et P Q =

r

P

k=0

c k X ^k . Soit p un nombre premier.

a. Montrer qu'il existe un plus petit entier k ∈ {0, . . . , n} tel que p ne divise pas a k . Notons le k 0 .

Notons, de même, k ₁ le plus petit entier k ∈ {0, . . . , m} tel que p ne divise pas b _k . b. Montrer que p ne divise pas c k

+k

c. En déduire que c(P Q) = 1 .

2. Montrer que c(P Q) = c(P)c(Q) (lemme de Gauss).

Partie 3. Critère d'Eisenstein.

1. Soit Φ ∈ Z [X ] pour lequel il existe des polynômes P et Q de degré supérieur ou égal à 1 et à coecients rationnels tels que Φ = P Q . Montrer qu'il existe deux polynômes P 0 et Q 0 de Z [X ] proportionnels respectivement à P et Q et tels que Φ = P 0 Q 0 . 2. Soit Φ ∈ Z [X] . Montrer que Φ est irréductible sur Q si et seulement si il est irréductible

sur Z.

3. Soit Φ =

n

P

k=0

a k X ^k un polynôme non constant de Z [X ] . On suppose qu'il existe un nombre premier p tel que :

• p ne divise pas a n

• p divise a _i pour i ∈ {0, . . . , n − 1}

• p ² ne divise pas a ₀

Montrer que Φ est irréductible sur Q.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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