MPSI B Année 2012-2013 Corrigé DM 4 29 juin 2019

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MPSI B Année 2012-2013 Corrigé DM 4 29 juin 2019

Pour tous les exercices, on se place dans un espace E muni d'un repère orthonormé direct R = (O, ( − →

i , − → j , − →

k )) dont les fonctions coordonnées sont notées x , y , z .

Exercice 1.

L'énoncé donne le plan P de manière paramétrique. On peut lire sur cette dénition les coordonnées d'un point A et de vecteurs − → u et − → v tels que

P = A + Vect( − → u , − → v ) avec A :



 2 3 1



 − → u :



 1

−1 2



 − → v :





−1 2 1





On en déduit l'équation de P puis la distance d'un point à ce plan avec la formule du cours.

M ∈ P ⇔ det( −−→

AM , − → u , − → v ) = 0 ⇔

x(M ) − 2 1 −1 y(M ) − 3 −1 2 z(M ) − 1 2 1

= 0

⇔ −5x(M ) − 3y(M ) + z(M ) + 18 = 0

d(M, P) = |−5x(M ) − 3y(M ) + z(M ) + 18|

√ 35

Exercice 2.

Un système d'équations pour une droite est constitué par les équations de deux plans dont l'intersection est égale à la droite. Ici, la droite D

⁰

dont on demande un système d'équations est la projection de D sur P . On choisira donc P comme premier plan contenant D

⁰

. Pour l'autre plan, on choisit d'adjoindre à D un vecteur − → n normal à P . On note Π ce plan.

Pour trouver une équation de Π , on forme une dénition paramétrique de D . M ∈ D ⇔

( x(M ) + y(M ) + z(M ) − 1 = 0 x(M ) − y(M ) − 2z(M ) = 0 ⇔



 x(M ) y(M ) z(M )



 =



 0 2

−1



 + x(M )



 1

−3 2





On en déduit

D = A + Vect( − → u ), Π = A + Vect( − → u , − → n ) avec A :



 0 2

−1



 − → u :



 1

−3 2



 − → n :



 1 2 3





Les coordonnées de − → n ont été obtenues en lisant directement sur l'équation de P . On en déduit l'équation de Π

M ∈ Π ⇔ det( −−→

AM , − → u , − → n ) = 0 ⇔

x(M ) 1 1 y(M ) − 2 −3 2 z(M ) + 1 2 3

= 0

⇔ −13x(M ) − y(M ) + 5z(M ) + 7 = 0 puis un système d'équations de D

⁰

.

M ∈ D

⁰

⇔ M ∈ P ∩ Π ⇔

( x(M ) + 2y(M ) + 3z(M ) + 6 = 0

−13x(M ) − y(M ) + 5z(M ) + 7 = 0

Une autre méthode est possible pour former l'équation du deuxième plan. Elle repose sur la notion de faisceau linéaire de plans.

Donnons nous deux réels α et β et formons l'équation d'un plan Π

_α,β

à partir des deux plans dénissant D .

D :

( x + y + z − 1 = 0 × α x − y − 2z = 0 × β

Π

_α,β

: (α + β)x + (α − β )y + (α − 2β)z − α = 0

D'après sa dénition même, ce plan contient la droite D . Il est orthogonal à − → n

α,β

de coordonnées

−

→ n

α,β

:



 α + β α − β α − 2β





Pour que Π

α,β

= Π , il sut de choisir α et β tels que − → n soit orthogonal à − → n

α,β

. ( − → n

α,β

/ − → n ) = (α + β) + 2(α − β ) + 3(α − 2β ) = 6α − 7β = 0 On choisit α = 7 , β = 6 et on obtient :

Π : 13x + y − 5z − 7

Remarque pour le lecteur qui a en charge d'évaluer des copies sur ce texte.

Ce type d'exercice est désagréable à évaluer car on pourrait qualier la question de semi- ouverte. Elle admet plusieurs réponses correctes. La validation d'une réponse peut nécessiter

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1204C

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un calcul de la part du correcteur. On peut ici faire faire un calcul de rang à un logiciel de calcul formel. Si ϕ et ψ sont les deux équations proposées par le corrigé et ϕ

1

, ψ

1

deux équations proposées par une copie, la réponse sera exacte si et seulement si

rg(ϕ, ψ, ϕ

₁

, ψ

₁

) = 2

Exercice 3.

1. On remarque que − → J et − →

K sont unitaires et orthogonaux. On en déduit que la base ( − →

I , − → J , − →

K ) est orthonormée directe si et seulement si ( − → J , − →

K , − →

I ) est orthonormée directe si et seulement si − →

I = − → J ∧ − →

K On calcule en coordonnées :

√ 1 2



 1

−1 0



 ∧ 1

√ 3



 1 1 1



 = 1

√ 6





−1

−1 2





On en déduit

−

→ I = 1

√ 6 − − →

i − − → j + 2 − →

k 2. Pour tout point M :

−−→ OM = X(M ) − →

I + Y (M ) − →

J + Z(M ) − → K

Comme la base ( − → I , − →

J , − →

K) est orthonormée directe, on en déduit



 



 



X = ( −−→

OM / − → I )

Y = ( −−→

OM / − → J )

Z = ( −−→

OM / − → K)

Comme on connait toutes les coordonnées, on peut calculer :



 



 



X (M ) = 1

√ 6 (−x − y + 2z) Y (M ) = 1

√ 2 (x − y) Z(M ) = 1

√

3 (x + y + z)

3. Une des équations fait intervenir le carré de la distance que l'on peut exprimer dans l'un ou l'autre des deux repères orthonormés

x(M )

²

+ y(M )

²

+ z(M )

²

= k −−→

OM k = X (M )

²

+ Y (M )

²

+ Z (M )

²

On en déduit

M ∈ C ⇔

( Z (M ) = √ 3 X(M )

²

+ Y (M )

²

= 2

On en tire que le cercle est de rayon √

2 . Soit C son centre, les coordonnées de C dans le repère R

⁰

sont évidentes, on en déduit les coordonnées dans le premier repère



 

 

X(C) = 0 Y (C) = 0 Z(C) = √

3 ⇔



 

 

−x(C) − y(C) + 2z(C) = 0 x(C) − y(C) = 0 x(C) + y(C) + z(C) = 3

⇔ x(C) = y(C) = z(C) = 1

Exercice 4.

1. À partir des équations, on obtient facilement une dénition paramétrique de D . M ∈ D ⇔



 x(M ) y(M ) z(M )



 =



 2 1 0



 + z(M )



 1

−1 1





On en déduit

D = A + Vect( − → u ) avec A :



 2 1 0



 − → u :



 1

−1 1





Cela permet d'exprimer le projeté H de M sur D à l'aide de la formule de cours

−−→ AH = ( −−→

AM / − → u ) k− → u k

−

→ u

puis le symétrique de M :

s(M ) = M + 2 −−→

M H = M + 2 −−→

M A + 2 −−→

AH

2

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Ce qui donne en coordonnées :





x(s(M )) y(s(M )) z(s(M ))



 =



 x(M ) y(M ) z(M )



 + 2





2 − x(M ) 1 − y(M )

−z(M )



 + 2

3 (x(M ) − y(M ) + z(M ))



 1

−1 1





= 1 3





10 − x(M ) − 2y(M ) + 2z(M ) 8 − 2x(M ) − y(M ) − 2z(M )

−2 + 2x(M ) − 2y(M ) − z(M )





2. Les calculs précédents permettent de former l'équation du plan P

⁰

symétrique de P par rapport à D .

M ∈ P

⁰

⇔ s(M ) ∈ P ⇔ x(s(M )) − y(s(M )) − 3z(s(M )) = 1 Après calculs :

M ∈ P

⁰

⇔ −5x(M ) + 5y(M ) + 7z(M ) + 5 = 0

3