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Soit n un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dans C [X ] puis dans R [X] la fraction rationnelle

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit n un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dans C [X ] puis dans R [X] la fraction rationnelle

F = 1 (X n − 1) 2 .

1. Préciser les pôles de F . La partie polaire de F relative au pôle u est notée α(u)

(X − u) 2 + β(u) X − u

Comment s'écrit la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) ?

2. Soit k un entier entre 1 et n . Former des développements limités à l'ordre 1 en 1 des fonctions suivantes

x k , 1 + x + x 2 + · · · + x n−1 , 1 + x + x 2 + · · · + x n−1 −2

.

3. Pour un pôle u autre que 1 , exprimer α(u) en fonction de u et α(1) , exprimer β(u) en fonction de u et β (1) .

4. a. Montrer que, au voisinage de 1 , 1

(1 + x + x 2 + · · · + x n−1 ) 2 = α(1) + β(1)(x − 1) + o(x − 1).

En déduire la partie polaire de F relative au pôle 1.

b. Former la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) . 5. On note w = e

2iπn

.

a. Soit k ∈ {1, 2, · · · , n − 1} , préciser k 0 ∈ {1, 2, · · · , n − 1} tel que w k = w k

0

b. En distinguant n pair et n impair, factoriser X n − 1 en polynômes irréductibles de R [X] .

c. En distinguant n pair et n impair, décomposer F en éléments simples de R (X ) .

Corrigé

1. Les pôles de F sont les racines n -ièmes de 1 . Comme la fraction est de degré strictement négatif, il n'y a pas de partie entière. La fraction est la somme de ses parties polaires.

2. Le développement limité de x k en 1 est

x k = 1 + k(x − 1) + o(x − 1)

En sommant les développements précédents, la somme des entiers consécutifs apparait et il vient :

1 + x + · · · + x n−1 = n + n(n − 1)

2 (x − 1) + o(x − 1) On factorise par n pour se ramener à un développement usuel

1

(1 + x + · · · + x n−1 ) 2 = 1 n 2

1 + n − 1

2 (x − 1) + o(x − 1) −2

= 1

n 2 − n − 1

n 2 (x − 1) + o(x − 1) 3. Soit u ∈ U. Si on substitue uX à X dans F , la fraction est conservée. La partie polaire

relative au pôle u devient α(u)

(uX − u) 2 + β (u)

uX − u = α(u)

u 2 (X − 1) 2 + β(u) u(X − 1) qui est la partie polaire relative à 1 . On en déduit

α(u) = u 2 α(1), β(u) = uβ(1) 4. a. Par dénition d'une partie polaire,

F = α(1)

(X − 1) 2 + β (1) X − 1 + R où R est une fraction qui n'admet pas de pôle en 1 . Comme

X n − 1 = (X − 1)(1 + X + · · · + X n−1 ) En multipliant F par (X − 1) 2 , on obtient

1

(1 + X + · · · + X n−1 ) 2 = α(1) + β(1)(X − 1) + (X − 1) 2 R

Comme 1 n'est pas un pôle de R , la fonction attachée à R admet une limite nie en 1 dont la fonction attachée à (X − 1) 2 R est négligeable en 1 devant x − 1 . L'écriture proposée est donc bien un développement limité en 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aelsimp1

(2)

MPSI B 29 juin 2019

b. En identiant les développements limités obtenus en 2. et 4.a., on obtient α(1) = 1

n 2 , β (1) = − n − 1 n 2 puis la décomposition en éléments simples

F = 1 n 2

X

u∈ U

u 2

(X − u) 2 − n − 1 n 2

X

u∈ U

u X − u 5. a. Si 1 ≤ k ≤ n − 1 et k 0 = n − k , alors 1 ≤ k 0 ≤ n − 1 et w k = w k

0

.

b. On regroupe les racines conjuguées. Dans le cas pair deux racines sont réelles ( 1 et −1 ) dans le cas impair 1 est la seule racine.

n = 2p X n − 1 = (X − 1)(X + 1)

p−1

Y

k=1

X 2 − 2 cos 2kπ n X + 1

n = 2p + 1 X n − 1 = (X − 1)

p

Y

k=1

X 2 − 2 cos 2kπ n X + 1

c. Pour un pôle u = e non réel, u 2

(X − u) 2 = u 2 (X 2 − 2uX + u 2 )

(X 2 − 2 cos θX + 1) 2 = u 2 X 2 − 2uX + 1 (X 2 − 2 cos θX + 1) 2

Les éléments simples relatifs à deux pôles conjugués sont eux mêmes conjugués.

Les regrouper revient à prendre deux fois la partie réelle. Soit : 2 cos 2θX 2 − 2 cos θX + 1

(X 2 − 2 cos θX + 1) 2

= 2 cos 2θ

X 2 − 2 cos θX + 1 + 4 sin 2 θ −2 cos θX + 1 (X 2 − 2 cos θX + 1) 2 Pour le résidu,

u

X − u = u(X − u)

X 2 − 2 cos θX + 1 = uX − 1 X 2 − 2 cos θX + 1 Le double de la partie réelle est

2 cos θX − 1 X 2 − 2 cos θX + 1

On en déduit la décomposition dans R (X) . On pose θ k = 2kπ n . Dans le cas impair n = 2p + 1 :

F = 1 n 2

1

(X − 1) 2 − n − 1 n 2

1 X − 1 + 4

n 2

p

X

k=1

sin 2 θ k −2 cos θ k X + 1 (X 2 − 2 cos θ k X + 1) 2 + 2

n 2

p

X

k=1

(n − 1) cos θ k X + n − 1 + cos 2θ k X 2 − 2 cos θ k X + 1 Dans le cas pair n = 2p :

F = 1 n 2

1

(X − 1) 2 − n − 1 n 2

1 X − 1 + 1

n 2 1

(X + 1) 2 + n − 1 n 2

1 X + 1 + 4

n 2

p−1

X

k=1

sin 2 θ k

−2 cos θ k X + 1 (X 2 − 2 cos θ k X + 1) 2 + 2

n 2

p−1

X

k=1

(n − 1) cos θ k X + n − 1 + cos 2θ k

X 2 − 2 cos θ k X + 1

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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