MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit n un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dans C [X ] puis dans R [X] la fraction rationnelle
F = 1 (X n − 1) 2 .
1. Préciser les pôles de F . La partie polaire de F relative au pôle u est notée α(u)
(X − u) 2 + β(u) X − u
Comment s'écrit la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) ?
2. Soit k un entier entre 1 et n . Former des développements limités à l'ordre 1 en 1 des fonctions suivantes
x k , 1 + x + x 2 + · · · + x n−1 , 1 + x + x 2 + · · · + x n−1 −2
.
3. Pour un pôle u autre que 1 , exprimer α(u) en fonction de u et α(1) , exprimer β(u) en fonction de u et β (1) .
4. a. Montrer que, au voisinage de 1 , 1
(1 + x + x 2 + · · · + x n−1 ) 2 = α(1) + β(1)(x − 1) + o(x − 1).
En déduire la partie polaire de F relative au pôle 1.
b. Former la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) . 5. On note w = e
2iπn.
a. Soit k ∈ {1, 2, · · · , n − 1} , préciser k 0 ∈ {1, 2, · · · , n − 1} tel que w k = w k
0b. En distinguant n pair et n impair, factoriser X n − 1 en polynômes irréductibles de R [X] .
c. En distinguant n pair et n impair, décomposer F en éléments simples de R (X ) .
Corrigé
1. Les pôles de F sont les racines n -ièmes de 1 . Comme la fraction est de degré strictement négatif, il n'y a pas de partie entière. La fraction est la somme de ses parties polaires.
2. Le développement limité de x k en 1 est
x k = 1 + k(x − 1) + o(x − 1)
En sommant les développements précédents, la somme des entiers consécutifs apparait et il vient :
1 + x + · · · + x n−1 = n + n(n − 1)
2 (x − 1) + o(x − 1) On factorise par n pour se ramener à un développement usuel
1
(1 + x + · · · + x n−1 ) 2 = 1 n 2
1 + n − 1
2 (x − 1) + o(x − 1) −2
= 1
n 2 − n − 1
n 2 (x − 1) + o(x − 1) 3. Soit u ∈ U. Si on substitue uX à X dans F , la fraction est conservée. La partie polaire
relative au pôle u devient α(u)
(uX − u) 2 + β (u)
uX − u = α(u)
u 2 (X − 1) 2 + β(u) u(X − 1) qui est la partie polaire relative à 1 . On en déduit
α(u) = u 2 α(1), β(u) = uβ(1) 4. a. Par dénition d'une partie polaire,
F = α(1)
(X − 1) 2 + β (1) X − 1 + R où R est une fraction qui n'admet pas de pôle en 1 . Comme
X n − 1 = (X − 1)(1 + X + · · · + X n−1 ) En multipliant F par (X − 1) 2 , on obtient
1
(1 + X + · · · + X n−1 ) 2 = α(1) + β(1)(X − 1) + (X − 1) 2 R
Comme 1 n'est pas un pôle de R , la fonction attachée à R admet une limite nie en 1 dont la fonction attachée à (X − 1) 2 R est négligeable en 1 devant x − 1 . L'écriture proposée est donc bien un développement limité en 1 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aelsimp1MPSI B 29 juin 2019
b. En identiant les développements limités obtenus en 2. et 4.a., on obtient α(1) = 1
n 2 , β (1) = − n − 1 n 2 puis la décomposition en éléments simples
F = 1 n 2
X
u∈ U
u 2
(X − u) 2 − n − 1 n 2
X
u∈ U
u X − u 5. a. Si 1 ≤ k ≤ n − 1 et k 0 = n − k , alors 1 ≤ k 0 ≤ n − 1 et w k = w k
0.
b. On regroupe les racines conjuguées. Dans le cas pair deux racines sont réelles ( 1 et −1 ) dans le cas impair 1 est la seule racine.
n = 2p X n − 1 = (X − 1)(X + 1)
p−1
Y
k=1
X 2 − 2 cos 2kπ n X + 1
n = 2p + 1 X n − 1 = (X − 1)
p
Y
k=1
X 2 − 2 cos 2kπ n X + 1
c. Pour un pôle u = e iθ non réel, u 2
(X − u) 2 = u 2 (X 2 − 2uX + u 2 )
(X 2 − 2 cos θX + 1) 2 = u 2 X 2 − 2uX + 1 (X 2 − 2 cos θX + 1) 2
Les éléments simples relatifs à deux pôles conjugués sont eux mêmes conjugués.
Les regrouper revient à prendre deux fois la partie réelle. Soit : 2 cos 2θX 2 − 2 cos θX + 1
(X 2 − 2 cos θX + 1) 2
= 2 cos 2θ
X 2 − 2 cos θX + 1 + 4 sin 2 θ −2 cos θX + 1 (X 2 − 2 cos θX + 1) 2 Pour le résidu,
u
X − u = u(X − u)
X 2 − 2 cos θX + 1 = uX − 1 X 2 − 2 cos θX + 1 Le double de la partie réelle est
2 cos θX − 1 X 2 − 2 cos θX + 1
On en déduit la décomposition dans R (X) . On pose θ k = 2kπ n . Dans le cas impair n = 2p + 1 :
F = 1 n 2
1
(X − 1) 2 − n − 1 n 2
1 X − 1 + 4
n 2
p
X
k=1
sin 2 θ k −2 cos θ k X + 1 (X 2 − 2 cos θ k X + 1) 2 + 2
n 2
p
X
k=1
(n − 1) cos θ k X + n − 1 + cos 2θ k X 2 − 2 cos θ k X + 1 Dans le cas pair n = 2p :
F = 1 n 2
1
(X − 1) 2 − n − 1 n 2
1 X − 1 + 1
n 2 1
(X + 1) 2 + n − 1 n 2
1 X + 1 + 4
n 2
p−1
X
k=1
sin 2 θ k
−2 cos θ k X + 1 (X 2 − 2 cos θ k X + 1) 2 + 2
n 2
p−1
X
k=1
(n − 1) cos θ k X + n − 1 + cos 2θ k
X 2 − 2 cos θ k X + 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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