On dénit une application f de C − {−1} dans C et une application ϕ de R − {1} dans R par :

MPSI B DM 1 29 juin 2019

Problème 1.

On dénit une application f de C − {−1} dans C et une application ϕ de R − {1} dans R par :

f (z) = 3z − 5

z + 1 , ϕ(z) = 1 + z 1 − z . 1. Tracer la représentation graphique de la fonction ϕ .

2. Montrer que f dénit une bijection de C −{−1} dans C −{3} et que z non réel entraine f (z) non réel.

3. Soit a , b des nombres complexes et k ∈ ]0, 1[ . Exprimer en fonction de a , b , k un nombre complexe u et un réel strictement positif R tels que :

∀z ∈ C , |z − a| ² = k ² |z − b| ² ⇔ |z − u| ² = R ²

4. Un nombre complexe z est dit point xe de f si et seulement si f (z) = z .

Déterminer les points xes de f . On notera z 1 celui dont la partie imaginaire est strictement positive et z 2 l'autre. On note Z 1 et Z 2 les points d'axes z 1 et z 2 . 5. Exprimer f (z) − z 1

f (z) − z ₂ en fonction de z − z 1

z − z ₂ . 6. Soit k ∈]0, 1[ .

a. Montrer que l'ensemble des points dont l'axe z vérie

z − z 1

z − z 2

= k est un cercle (noté C

).

b. Calculer les coordonnées du centre de C

et des points d'intersection avec la droite (Z 1 , Z 2 ) . Exprimer les deuxièmes coordonnées à l'aide de ϕ .

7. a. Soit z un nombre complexe non réel et n un entier naturel, montrer que tous les points d'axes

z, f(z), f ◦ f (z), · · · , f ◦ · · · ◦ f

| {z }

nfois

(z)

sont sur un même cercle.

b. Préciser ce cercle pour z = 1 + i . Le dessiner en portant les points d'intersection avec la droite (Z 1 Z 2 ) et les points d'axes z et f(z) .

Problème 2.

Cet exercice porte sur la construction d'un pentagone régulier

.

1

D'après E.N.S.A.I.S 2005

Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω ⁵ = 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :

α = ω + 1

ω β = −1 − α

1. a. Montrer que

ω = 1 ω = ω ⁴

Former une relation analogue pour ω ² au lieu de ω . Que peut-on en déduire pour ω + ω ⁴ et ω ² + ω ³ ?

b. Montrer que

1 + ω + ω ² + ω ³ + ω ⁴ = 0

2. a. Montrer que α et β sont réels en exprimant α à l'aide d'une partie réelle.

b. Simplier α + β et αβ . En déduire une équation simple du second degré dont les solutions sont α et β .

3. Préciser le centre et les intersections avec les axes du cercle d'équation x ² + y ² + x − 1 = 0

4. (En utilisant les résultats de terminale.) On suppose ω = e

= cos 2iπ

5 + i sin 2iπ 5

Montrer que les 3 points situés sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et dont les abscisses sont respectivement α , β et 2 sont des sommets d'un pentagone régulier. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1