Construire sur dessin la droite(M M0)à partir d'une droite∆

MPSI B 2009-2010 DM 5 29 juin 2019

Soita,b,b⁰trois réels strictement positifs tels queb6=b⁰. Dans un plan muni d'un repère, on dénit trois pointsA,B,B⁰ par leurs coordonnées

A: (a,0) B: (0, b) B⁰ : (0, b⁰)

Soit∆une droite passant par l'origine, on notemla pente de∆(lorsque cette pente existe).

On note∆⁰ la droite symétrique de∆par rapport à l'axeOxdu repère.

Lorsque les droites se coupent, on noteM le point commun à∆ et à la droite(AB)et M⁰ le point commun à∆⁰ et à la droite(AB⁰).

1. Construire sur dessin la droite(M M⁰)à partir d'une droite∆.

2. Préciser les valeurs de m pour lesquelles existent les points M et M⁰. Calculer alors les coordonnées deM etM⁰ et montrer que :

(b+am)x−ab a(b+b⁰)

(b+am)y−abm −2bb⁰−am(b⁰−b)

= 0

est une équation de(M M⁰).

3. On se propose de montrer qu'il existe un unique point (notéP) appartenant à toutes les droites M M⁰.

a. Montrer que siP existe, il est forcément sur la droite(Oy)et que son ordonnée pvérie

2 p =1

b + 1 b⁰

b. La question a. prouve une partie de ce que l'on souhaitait montrer, laquelle ? Achever la démonstration.

c. Montrer qu'il existe un réelλtel que

−−→

OB=λ−−→

OB⁰ −−→

P B=−λ−−→

P B⁰

4. On suppose que a, b, b⁰ varient de telle sorte que P soit xe et que la droite (AB⁰) reste parallèle à la droite d'équation

x+y= 0 a. Calculeraetben fonction deb⁰ etp.

b. Montrer que les droites joignantBau milieu de[AB⁰]passent par un unique point (notéQ) lorsqueb⁰ varie. Préciser les coordonnées deQ.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0905E