porte sur l'étude de la suite (u

(1)

MPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 7 pour le vendredi 09/01/15 29 juin 2019

Cet exercice

¹

porte sur l'étude de la suite (u

n

)

_n∈N∗

dénie par u

n

=

√ n 4

ⁿ

2n n

1. a. Calculer u

₁

et

^uⁿ⁺¹_u_n

pour n ∈ N

^∗

. b. Montrer par récurrence que u

n

≤ q

_n

2n+1

pour n ∈ N

^∗

. c. Étudier le sens de variation de la suite (u

_n

)

_n∈

N^∗

et montrer qu'elle converge. On note L sa limite. Montrer que

1 2 ≤ L ≤ 1

√ 2

2. a. En appliquant l'inégalité des accroissements nis à la fonction t → √

t sur un intervalle convenable, prouver l'encadrement suivant

∀x > 0, 1

8(x +

¹₂

) ≤ (x + 1 2 ) − p

x(x + 1) ≤ 1 8 p

x(x + 1)

b. En déduire :

∀k ∈ N

^∗

, u

_k

8(k +

¹₂

) − u

_k

8(k +

³₂

) ≤ u

_k+1

− u

_k

≤ u

_k

8k − u

_k

8(k + 1)

c. Par sommation de ces inégalités, trouver un encadrement de u

p

− u

n

pour p et n entiers tels que n < p . Établir

∀k ∈ N

^∗

, u

n

8(n +

¹₂

) ≤ L − u

n

≤ L 8n

d. En déduire

∀k ∈ N

^∗

,

L − (1 + 1 8n )u

_n

≤ L 16n

²

3. a. Comment sut-il de choisir n pour que u

_n

soit une valeur approchée de L à 10

⁻⁵

près ?

b. Comment sut-il de choisir n pour que u

n

+

^u_8nⁿ

soit une valeur approchée de L à 10

⁻⁵

près ?

1d'après un problème ESSEC 1987 sur le nombre moyen de retour à l'origine pour une promenade aléatoire.

4. On admet ici la formule de Stirling qui donne une suite équivalente à la suite des factorielles.

n! ∼ √

2πn n

ⁿ

e

⁻ⁿ

Déterminer une expression formelle exacte de L .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1407E