Soit n un entier naturel non nul et T un polynôme xé de C [X] de degré n .

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit n un entier naturel non nul et T un polynôme xé de C [X] de degré n .

Lorsque P et Q sont deux polynômes et a un réel, le polynôme P b (Q) est obtenu en substi- tuant Q à X dans l'expression de P .

On dénit

une application f de C [X ] dans C [X] par : P → Q + XR

où Q et R sont respectivement le quotient et le reste de la division de P(X b ² ) par T . C'est à dire

P(X b ² ) = T Q + R avec deg R < n

On notera f

la restriction de f à l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n noté ici C

[X ] .

Partie I.

1. Montrer que f est un endomorphisme de C [X] .

2. Montrer que f

est à valeurs dans C

[X ] . On notera encore f

l'endomorphisme de C

[X ] associé.

3. Dans cette question uniquement, n = 2 et T = X ² .

a. Donner la matrice A de f ₂ dans la base canonique (1, X, X ² ) .

b. Calculer A ² . En déduire que f ₂ est bijective et donner son application réciproque.

En déduire la nature de f ₂ .

4. Dans cette question seulement, n = 2 et T = (X − 1 − i)(X + i) . Calculer l'image du polynôme X ² + (1 − 2i)X − 2i par l'application f .

Partie II.

Soit a un complexe xé. Dans cette partie uniquement, n = 3 et T = X ³ + X ² + a

1. Montrer que la matrice dans la base canonique C ₃ = (1, X, X ² , X ³ ) de f ₃ est : B =









0 0 −1 −a − 1 1 0 a + 1 1 + a + a ² 0 0 −a −a − 1

0 1 1 2a + 2









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d'après Concours commun sup des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai 2009 , épreuve spécique

2. Discuter selon a du rang de f 3 . 3. Dans cette question, a = −1 .

a. Donner une base de ker f 3 . b. Donner une base de Im f 3 .

c. Le noyau et l'image de f 3 sont-ils supplémentaires ?

Partie III.

1. Soit P un polynôme non nul de degré p tel que 2p < n . Montrer que P n'est pas dans le noyau de f .

2. Soit P un polynôme. Montrer que P ∈ ker f si est seulement si il existe un polynôme R de degré strictement inférieur à n tel que

P b (X ² ) = (1 − XT )R 3. Montrer que ker f ⊂ C

[X ] .

4. Montrer que, pour tout P ∈ ker f et tout k ∈ N :

deg(P ) + k ≤ n ⇒ X

P ∈ ker f

5. On suppose dans cette question que ker f n'est pas réduit au polynôme nul. Soit I l'ensemble des entiers naturels déni par :

k ∈ I ⇔ ∃P ∈ C [X] tel que P ∈ ker f et deg p = k a. Montrer que I possède un plus petit élément. Il sera noté d .

b. Soit P 0 et P 1 des polynômes de degré d dans le noyau. Montrer qu'il existe un nombre complexe c tel que P 1 = cP 0 .

c. Montrer qu'un polynôme P est dans le noyau de f si et seulement si il existe un polynôme S de degré inférieur ou égal à n − d tel que P = SP 0 .

6. Dans cette question, on suppose T = X ³ + X ² − 1 . Préciser le noyau de f .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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