Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Feuille 4 Exercice 1
Soitnun entier≥5. Montrer que :n est premier si et seulement sinne divise pas (n−3)!.
Exercice 2
Trouver tous les entiers n vérifiant
12n ≡ −15 mod 33 6n≡ −24 mod 54
7n≡1 mod 13 . Exercice 3 : théorème de Pocklington
Soient n et d deux entiers ≥1 tels que d divise n. On suppose que pour tout facteur premier p de d, il existe un entier ap vérifiant : n + 1 divise anp −1 et (n+ 1)∧(an/pp −1) = 1.
Soit q un facteur premier de n+ 1.
a. Soitp un facteur premier ded. Montrer quepvp(n) divise l’ordre dea¯p dans le groupe(Z/qZ)∗.
b. En déduire qued divise q−1.
c.Montrer que si d+ 1>√
n+ 1, alors n+ 1 est premier.
Exercice 4
Soient m et n deux entiers ≥1. Calculer le pgcd de Xm−1 etXn−1.
Exercice 5 : test de Lucas-Lehmer
Soit n un entier ≥2; on poseMn = 2n−1.
a. Vérifier que si Mn est premier, alorsn l’est aussi.
On pose L1 = 4 et on définit par récurrence la suite (Li)i≥1 en posant Li+1 = L2i − 2 pour tout i ≥ 1. On suppose Ln−1 ≡ 0 mod Mn. Le but de
1
cet exercice est de montrer queMn est premier.
b. Soit p un diviseur premier de Mn. On pose A = Fp[X]/hX2 −4X + 1i et on désigne par α la classe de X dans A. Posons β = 4− α. Montrer que Li+1 =α2i +β2i pour touti≥0.
c.Déterminer l’ordre de α dans le groupe A∗. d. Conclure.
2
